Matematica

TESTO: I numeri che abbiamo utilizzato per contare non bastano a descrivere tutte le situazioni. Possiamo avere una temperatura sotto zero, un piano sotto il livello della strada o un debito. Per rappresentare queste situazioni introduciamo i numeri negativi. Un numero positivo è maggiore di zero e può essere preceduto dal segno +, come +3 o +12. Un numero negativo è minore di zero ed è preceduto dal segno −, come −3 o −12. Il segno positivo può essere sottinteso: +5 e 5 indicano lo stesso numero. Il segno negativo, invece, deve essere scritto. Lo zero non è né positivo né negativo: è il riferimento che separa i due gruppi. Anche frazioni e numeri decimali possono essere positivi o negativi: per esempio +1/2, −3/4, +2,5 e −0,8. In questo percorso useremo l'espressione “numeri relativi” per i numeri considerati con il loro segno. Il segno permette di distinguere valori collocati da parti opposte rispetto a un riferimento. ESEMPIO SVOLTO: Un termometro indica quattro gradi sopra lo zero al mattino e due gradi sotto lo zero alla sera. 1. Il riferimento è 0 °C. 2. Quattro gradi sopra zero si scrivono +4 °C. 3. Due gradi sotto zero si scrivono −2 °C. Il segno ci permette di capire la posizione della temperatura rispetto allo zero. DA RICORDARE: • Un numero positivo è maggiore di zero. • Un numero negativo è minore di zero. • Lo zero non è né positivo né negativo. • Il segno + può essere omesso; il segno − no. ERRORE DA EVITARE: Non considerare −6 uguale a 6: hanno lo stesso valore assoluto, ma sono numeri diversi. ESERCIZI: 1. Classifica come positivi, negativi o zero: −8; +5; 0; −1,5; 3/4; −2/3. 2. Scrivi con il segno: sette gradi sotto zero; dodici metri sopra il livello del mare; un debito di venti euro, scegliendo i crediti come positivi.

TESTO: Per rappresentare i numeri utilizziamo una retta orientata. Scegliamo un punto che rappresenta lo zero, detto origine, un verso positivo, normalmente verso destra, e un'unità di misura. Le tacche devono essere equidistanti: se una distanza rappresenta un'unità, la stessa distanza deve rappresentare un'unità lungo tutta la retta. I numeri positivi si trovano a destra dello zero e quelli negativi a sinistra. Per collocare +3 partiamo dall'origine e ci spostiamo di tre unità a destra. Per collocare −3 ci spostiamo di tre unità a sinistra. I due punti hanno la stessa distanza dall'origine, ma si trovano da parti opposte. Anche le frazioni e i decimali trovano posto sulla retta. Il numero +1,5 è a metà tra +1 e +2; −1,5 è a metà tra −2 e −1. La retta non contiene soltanto numeri interi. ESEMPIO SVOLTO: Rappresentiamo −2, +3 e −0,5. 1. Segniamo lo zero e scegliamo una distanza per l'unità. 2. Collochiamo −2 due unità a sinistra dell'origine. 3. Collochiamo +3 tre unità a destra. 4. Collochiamo −0,5 a metà tra −1 e 0. Da sinistra a destra incontriamo: −2; −0,5; 0; +3. DA RICORDARE: • Sulla retta i valori aumentano andando verso destra. • I valori diminuiscono andando verso sinistra. • Origine, verso positivo e unità devono essere definiti. ERRORE DA EVITARE: Non mettere −1,5 tra −1 e 0: si trova tra −2 e −1. ESERCIZI: 3. Disegna una retta e rappresenta: −4; +2; 0; −1; +3,5. 4. Fra quali due interi consecutivi si trovano −2,5 e +0,75?

TESTO: Il valore assoluto di un numero è la sua distanza dallo zero sulla retta numerica. Si indica scrivendo il numero tra due barre verticali: |−5| si legge “valore assoluto di meno cinque”. Una distanza non può essere negativa. Perciò il valore assoluto è sempre positivo oppure zero. Il valore assoluto di +5 è 5 e quello di −5 è ancora 5, perché entrambi i punti distano cinque unità dall'origine. Se il numero è positivo, il suo valore assoluto coincide con il numero stesso. Se è negativo, il suo valore assoluto è il corrispondente numero positivo. Il valore assoluto di zero è zero. Il valore assoluto ci dice quanto un punto è lontano dall'origine, ma non da quale parte si trova. Per distinguere +5 da −5 serve anche il segno. ESEMPIO SVOLTO: Calcoliamo |−7|, |+2,5| e |0|. 1. −7 dista sette unità dallo zero: |−7| = 7. 2. +2,5 dista due unità e mezzo: |+2,5| = 2,5. 3. Zero coincide con l'origine: |0| = 0. DA RICORDARE: • Il valore assoluto indica la distanza dallo zero. • Non è mai negativo. • Due numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto. ERRORE DA EVITARE: Non scrivere |−4| = −4: il risultato corretto è 4. ESERCIZI: 5. Calcola: |−9|; |+6|; |−0,4|; |0|; |−3/2|. 6. Quali numeri hanno valore assoluto 8? Quale numero ha valore assoluto 0?

TESTO: Due numeri diversi da zero sono opposti quando hanno lo stesso valore assoluto e segni diversi. Per esempio, +6 e −6 sono opposti; anche +2,5 e −2,5 sono opposti. Sulla retta i numeri opposti si trovano alla stessa distanza dallo zero, da parti opposte. Sono quindi simmetrici rispetto all'origine. Per trovare l'opposto di un numero cambiamo il suo segno. L'opposto di +9 è −9; l'opposto di −9 è +9. Lo zero è un caso particolare: il suo opposto è ancora zero. L'opposto di un numero a si indica con −a. Questo simbolo significa “opposto di a”: non indica necessariamente un risultato negativo. Se a è −4, il suo opposto −a è +4. Cercando l'opposto due volte, torniamo al numero di partenza. ESEMPIO SVOLTO: Troviamo l'opposto di −3/4. 1. Il numero di partenza è negativo. 2. Conserviamo il valore assoluto 3/4. 3. Cambiamo il segno: otteniamo +3/4. I punti −3/4 e +3/4 sono equidistanti dall'origine. DA RICORDARE: • Per trovare l'opposto si cambia il segno. • Il valore assoluto rimane uguale. • L'opposto di zero è zero. ERRORE DA EVITARE: Il valore assoluto e l'opposto non sono la stessa cosa: |+5| = 5, mentre l'opposto di +5 è −5. ESERCIZI: 7. Trova l'opposto di: +7; −12; +0,6; −5/2; 0. 8. Scrivi prima il valore assoluto e poi l'opposto di +4 e di −4.

TESTO: Confrontare due numeri significa stabilire se uno è maggiore, minore o uguale all'altro. Usiamo i simboli >, < e =. Sulla retta numerica il numero più a destra è sempre il maggiore. Ogni numero positivo è maggiore di zero e di qualsiasi numero negativo. Lo zero è maggiore di ogni numero negativo. Tra due positivi è maggiore quello con valore assoluto maggiore: +8 > +3. Tra due negativi la regola si inverte: è maggiore quello con valore assoluto minore, cioè quello più vicino allo zero. Per esempio −2 > −7. Infatti −2 si trova più a destra di −7. Possiamo interpretare il confronto con le temperature: −2 °C è una temperatura più alta di −7 °C. Quindi il numero con la cifra più grande non è sempre il numero maggiore: bisogna considerare anche il segno. Ordinare in senso crescente significa procedere dal minore al maggiore. Ordinare in senso decrescente significa procedere dal maggiore al minore. ESEMPIO SVOLTO: Ordiniamo in senso crescente +3, −5, 0, −1 e +2. 1. I negativi precedono zero e positivi. 2. Tra −5 e −1, il minore è −5. 3. Dopo lo zero collochiamo +2 e poi +3. Risultato: −5 < −1 < 0 < +2 < +3. DA RICORDARE: • Sulla retta, più a destra significa maggiore. • Tra due negativi è maggiore quello più vicino allo zero. • Crescente: dal minore al maggiore. Decrescente: dal maggiore al minore. ERRORE DA EVITARE: Non scrivere −10 > −3 perché 10 > 3: il confronto corretto è −10 < −3. ESERCIZI: 9. Inserisci <, > oppure =: −6 … −2; +4 … −9; 0 … −1; −0,5 … −0,8; −3 … −3. 10. Ordina in senso crescente: −2; +1,5; −4; 0; +1; −0,5. 11. Ordina in senso decrescente: −7; +2; −1; +5; 0.

TESTO: I numeri possono essere raggruppati in insiemi. Ogni insieme raccoglie numeri con determinate caratteristiche. L'insieme N dei numeri naturali comprende i numeri usati per contare. In questo percorso includiamo anche lo zero: N = {0, 1, 2, 3, …}. Alcuni testi adottano una convenzione diversa per lo zero; qui manteniamo questa scelta. L'insieme Z dei numeri interi comprende i naturali e gli interi negativi: Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. Un numero come −5 è intero, mentre 1,5 non lo è. L'insieme Q dei numeri razionali comprende tutti i numeri che si possono scrivere come a/b, dove a e b sono interi e b è diverso da zero. Sono razionali, per esempio, 3/4, −2/5, 1,5 e −0,25. Anche tutti gli interi sono razionali: −3 si può scrivere come −3/1. I decimali finiti e i decimali periodici sono razionali. Un esempio è 0,333… = 1/3, dove la cifra 3 si ripete senza fine. Il denominatore di una frazione non può essere zero: la divisione per zero non è definita. Questi insiemi sono contenuti l'uno nell'altro: N ⊂ Z ⊂ Q. Il simbolo ⊂ indica, in questo caso, che ciascun insieme è contenuto nel successivo e non coincide con esso. Un numero può quindi appartenere a più insiemi. ESEMPIO SVOLTO: Classifichiamo 4, −4 e 1/2. 1. 4 è naturale, quindi appartiene anche a Z e a Q. 2. −4 è intero e razionale, ma non naturale. 3. 1/2 è razionale, ma non intero né naturale. Non dobbiamo assegnare ogni numero a un solo insieme. DA RICORDARE: • N: numeri naturali, incluso zero secondo la convenzione scelta. • Z: numeri interi positivi, negativi e zero. • Q: numeri esprimibili come rapporto tra interi, con denominatore non nullo. • Ogni naturale è intero; ogni intero è razionale. ERRORE DA EVITARE: Non escludere gli interi da Q: anche 5 è una frazione, perché 5 = 5/1. ESERCIZI: 12. Indica tutti gli insiemi, tra N, Z e Q, a cui appartengono: 0; −6; 2/3; 9; −1,25. 13. Vero o falso? a) Ogni intero è naturale. b) Ogni naturale è razionale. c) 0,5 è intero. d) −8 è razionale.

TESTO: I numeri con segno permettono di descrivere molte situazioni reali, ma il loro significato dipende dal riferimento scelto. Prima di usare un numero positivo o negativo dobbiamo stabilire che cosa rappresenta lo zero e quale direzione o condizione consideriamo positiva. Con le temperature, lo zero della scala Celsius è il riferimento: +6 °C indica sei gradi sopra zero e −6 °C sei gradi sotto zero. Per le altitudini possiamo usare il livello del mare: una quota di +120 m è sopra il riferimento e una quota di −10 m sotto. Per i piani di un edificio possiamo scegliere il piano terra come zero. I piani superiori possono essere indicati con +1, +2 e così via; quelli sotterranei con −1 e −2. Per un saldo, un valore positivo può rappresentare denaro disponibile e uno negativo un debito. Se descriviamo invece i movimenti di denaro, possiamo scegliere le entrate come positive e le uscite come negative. Un saldo è una situazione in un momento preciso; un movimento è una variazione: sono informazioni diverse. Anche gli spostamenti possono avere un segno. Se scegliamo verso destra come positivo, uno spostamento di +3 m va a destra e uno di −3 m va a sinistra. La distanza percorsa, invece, non è negativa. Il segno non significa automaticamente “buono” o “cattivo”. Indica una posizione, una direzione o una condizione rispetto alla convenzione adottata. ESEMPIO SVOLTO: Un ascensore si trova al secondo piano sotterraneo, mentre un altro è al terzo piano sopra il piano terra. 1. Scegliamo il piano terra come livello 0. 2. Il primo ascensore si trova al livello −2. 3. Il secondo si trova al livello +3. 4. Il livello +3 è più alto del livello −2. Tra i due livelli ci sono cinque intervalli di piano: da −2 a −1, da −1 a 0, da 0 a +1, da +1 a +2 e da +2 a +3. Questo conteggio non indica una distanza in metri. DA RICORDARE: • Individua sempre il riferimento e la convenzione dei segni. • Scrivi le unità di misura quando servono. • Distingui posizione, spostamento e distanza. ERRORE DA EVITARE: Non assegnare un segno senza spiegare il riferimento: “−3” da solo non dice se parliamo di gradi, euro, metri o piani. ESERCIZI: 14. Scrivi con il segno: a) 15 m sotto il livello del mare; b) 8 °C sopra zero; c) primo piano sotterraneo, con piano terra uguale a 0; d) uscita di 30 €, con entrate positive. 15. Una località ha temperatura −4 °C e un'altra −9 °C. Quale è più calda? 16. Due subacquei sono a quota −6 m e −11 m rispetto al livello del mare. Chi è più vicino alla superficie?

TESTO: Per sommare numeri con lo stesso segno si sommano i valori assoluti e si mantiene il segno comune. Con segni diversi si sottrae il valore assoluto minore dal maggiore e si mantiene il segno del numero con valore assoluto maggiore. Sulla retta, aggiungere un positivo sposta a destra; aggiungere un negativo sposta a sinistra. ESEMPIO SVOLTO: (−7)+(+3): i segni sono diversi; 7−3=4 e prevale il segno negativo. Risultato: −4. DA RICORDARE: Il segno della somma non si decide contando i segni. ESERCIZIO 1: Calcola (−8)+(−5) e (+9)+(−12).

TESTO: Sottrarre un numero equivale ad aggiungere il suo opposto: a−b=a+(−b). Prima si trasforma la sottrazione in addizione, poi si applicano le regole della somma. Il segno dell’operazione e il segno del numero hanno ruoli diversi. ESEMPIO SVOLTO: (−4)−(−6)=(−4)+(+6)=+2. Il secondo numero cambia segno perché ne prendiamo l’opposto. DA RICORDARE: Cambia il segno del numero sottratto, non quello del primo numero. ESERCIZIO 2: Calcola 5−(−3) e −2−(+7).

TESTO: Una successione di addizioni e sottrazioni si può riscrivere come somma di numeri con segno. Conviene raggruppare i termini positivi e quelli negativi, oppure procedere da sinistra a destra. Le parentesi aiutano a distinguere i segni. ESEMPIO SVOLTO: −5+8−4+2: positivi 8+2=10, negativi −5−4=−9; 10+(−9)=1. DA RICORDARE: La sottrazione non è commutativa; la somma di termini con segno sì. ESERCIZIO 3: Calcola −7+4−2+9.

TESTO: Per moltiplicare due numeri relativi si moltiplicano i valori assoluti e si determina il segno. Segni uguali danno prodotto positivo; segni diversi danno prodotto negativo. Se uno dei fattori è zero, il prodotto è zero. ESEMPIO SVOLTO: (−3)·(−5)=+15; (−3)·(+5)=−15. In un prodotto di più fattori non nulli, un numero pari di fattori negativi dà segno positivo. DA RICORDARE: La regola dei segni del prodotto non è la regola dell’addizione. ESERCIZIO 4: Calcola (−4)·(+6) e (−2)·(−3)·(−5).

TESTO: La divisione usa la stessa regola dei segni della moltiplicazione. Si dividono i valori assoluti e si assegna il segno: uguali danno positivo, diversi negativo. Il divisore deve essere diverso da zero. Zero diviso un numero non nullo è zero. ESEMPIO SVOLTO: (−18):(+3)=−6; (−18):(−3)=+6. Il calcolo 3:0 non è definito. DA RICORDARE: Non si può dividere per zero, neppure quando il dividendo è zero. ESERCIZIO 5: Calcola (−24):(−6) e 0:(−5).

TESTO: Una potenza con esponente intero positivo è un prodotto di fattori uguali. Una base negativa dà risultato positivo con esponente pari e negativo con esponente dispari. Le parentesi stabiliscono se il segno fa parte della base. ESEMPIO SVOLTO: (−2)^4=16; (−2)^3=−8. Invece −2^4=−16: senza parentesi la potenza riguarda solo 2. DA RICORDARE: Per a diverso da zero, a^0=1. In questo percorso non si attribuisce un valore a 0^0. ESERCIZIO 6: Calcola (−3)^2, −3^2 e (−1)^5.

TESTO: Con la stessa base, nel prodotto si sommano gli esponenti e nel quoziente si sottraggono, se la base è non nulla. Nella potenza di potenza si moltiplicano gli esponenti. Le potenze di un prodotto si distribuiscono sui fattori. Queste proprietà non trasformano una somma in una potenza unica. ESEMPIO SVOLTO: 2^3·2^4=2^7=128; (3^2)^3=3^6=729; 5^4:5^2=5^2=25. DA RICORDARE: a^m+a^n non è in generale a^(m+n). ESERCIZIO 7: Semplifica 3^5:3^2 e (2^3)^2.

TESTO: Per una base diversa da zero, un esponente negativo indica il reciproco della potenza con esponente positivo: a^(−n)=1/a^n. L’esponente negativo non impone un risultato negativo. Per una frazione non nulla si può invertire la frazione e rendere positivo l’esponente. ESEMPIO SVOLTO: 2^(−3)=1/2^3=1/8. (−2)^(−2)=1/(−2)^2=1/4. (2/3)^(−1)=3/2. DA RICORDARE: Zero non può avere esponente negativo perché occorrerebbe dividere per zero. ESERCIZIO 8: Calcola 5^(−2) e (3/4)^(−1).

TESTO: Si rispettano parentesi e priorità: prima potenze, poi prodotti e quozienti, infine somme e differenze. Operazioni dello stesso livello si eseguono da sinistra a destra. Con le frazioni, per sommare servono denominatori comuni; per dividere si moltiplica per il reciproco del divisore non nullo. ESEMPIO SVOLTO: −2+3·(−4)=−2−12=−14. In −1/2+3/4, il denominatore comune è 4: −2/4+3/4=1/4. DA RICORDARE: Non eseguire sempre tutte le operazioni semplicemente da sinistra a destra. ESERCIZIO 9: Calcola (−3)^2−2·5 e −2/3+1/6.

TESTO: Gli errori principali riguardano segni, parentesi e priorità. Per controllare un risultato conviene stimarne il segno, riscrivere i passaggi delicati e usare l’operazione inversa quando possibile. Un risultato decimale approssimato non deve essere presentato come uguaglianza esatta. ESEMPIO SVOLTO: Uno studente scrive (−2)^2=−4. Riscrivendo (−2)·(−2), trova +4 e individua l’errore di segno. DA RICORDARE: Scrivi un passaggio per riga e usa ≈ per le approssimazioni. ESERCIZIO 10: Correggi: 4+2·3=18; (−5)−(−2)=−7.

TESTO: La radice quadrata di un numero non negativo a è il numero non negativo che, elevato al quadrato, dà a. I quadrati perfetti di numeri interi hanno radice intera. La radice principale è unica; l’equazione x^2=a può invece avere due soluzioni se a è positivo. ESEMPIO SVOLTO: √49=7 perché 7^2=49. L’equazione x^2=49 ha soluzioni +7 e −7, ma √49 indica solo 7. DA RICORDARE: Nei numeri reali non esiste la radice quadrata di un numero negativo. ESERCIZIO 1: Calcola √81, √0 e √(9/16).

TESTO: Per numeri a e b non negativi, √(ab)=√a·√b. Nel quoziente vale √(a/b)=√a/√b se b è positivo. Queste proprietà valgono per prodotti e quozienti, non per somme e differenze. Per qualsiasi reale a, √(a^2) è il valore assoluto di a. ESEMPIO SVOLTO: √(36·4)=6·2=12. Invece √(9+16)=√25=5, mentre √9+√16=7. DA RICORDARE: √(a+b) non è in generale √a+√b. ESERCIZIO 2: Calcola √(100/25) e √((−6)^2).

TESTO: Se il radicando non è un quadrato perfetto, la radice può essere individuata tra due interi consecutivi e poi approssimata. Una calcolatrice fornisce cifre utili, ma il risultato visualizzato può essere arrotondato. La precisione richiesta deve essere dichiarata. ESEMPIO SVOLTO: Poiché 2^2=4 e 3^2=9, 2<√7<3. La calcolatrice dà circa 2,64575: arrotondando ai centesimi, √7≈2,65. DA RICORDARE: Il simbolo ≈ distingue l’approssimazione dal valore esatto. ESERCIZIO 3: Tra quali interi si trova √20? Arrotonda 4,4721 ai centesimi.

TESTO: Un razionale si scrive come rapporto tra interi con denominatore non nullo. Il suo sviluppo decimale è finito o periodico. Un irrazionale non si può scrivere in quella forma: ha sviluppo decimale infinito non periodico. Non tutte le radici sono irrazionali. ESEMPIO SVOLTO: √2 è irrazionale; √9=3 è razionale. Anche π è irrazionale: 3,14 ne è solo un’approssimazione. DA RICORDARE: Un decimale infinito può essere razionale se è periodico. ESERCIZIO 4: Classifica 0,25, 1/3, √5 e √16.

TESTO: L’insieme R comprende razionali e irrazionali. Tutti i numeri studiati finora appartengono a R. Vale N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. I numeri irrazionali appartengono a R ma non a Q; zero e i numeri negativi possono essere reali. ESEMPIO SVOLTO: −3 appartiene a Z, Q e R; √3 appartiene a R ma non a Q. La radice √(−1) non è un numero reale. DA RICORDARE: “Reale” non significa positivo: anche −7 è reale. ESERCIZIO 5: Indica quali appartengono a R: −2, √7, 5/8, √(−9).

TESTO: La retta numerica associa a ogni numero reale un punto e a ogni punto un reale. I razionali non esauriscono tutti i punti. Per individuare √2 si può costruire un triangolo rettangolo con cateti unitari: la sua ipotenusa misura √2 e può essere riportata sulla retta. ESEMPIO SVOLTO: √2≈1,414 si trova tra 1,4 e 1,5. −√2 si trova tra −1,5 e −1,4, dalla parte opposta dello zero. DA RICORDARE: Per collocare un irrazionale si può usare una costruzione esatta o un’approssimazione dichiarata. ESERCIZIO 6: Ordina −√2, −1, 0 e √2.

TESTO: In notazione scientifica un numero positivo si scrive a·10^n con 1≤a<10 e n intero. Si sposta la virgola compensando con una potenza di dieci. Per i negativi si mantiene il segno. Per “ordine di grandezza” adottiamo la potenza di dieci più vicina in scala logaritmica: se a<√10 si usa 10^n, altrimenti 10^(n+1). Altri testi usano la sola potenza della notazione: va chiarita la convenzione. ESEMPIO SVOLTO: 45000=4,5·10^4 e 0,00072=7,2·10^(−4). Con la convenzione scelta, 4,5>√10≈3,16, quindi l’ordine di grandezza di 45000 è 10^5. DA RICORDARE: L’esponente negativo indica numeri piccoli in valore assoluto, non un segno negativo. ESERCIZIO 7: Scrivi 620000 e 0,003 in notazione scientifica.

TESTO: Una lettera permette di descrivere una regola senza scegliere subito un numero. Le espressioni letterali contengono numeri, lettere e operazioni. Il prodotto può essere scritto senza il simbolo: 3a significa 3·a. Un’espressione non è un’equazione perché non afferma un’uguaglianza da risolvere. ESEMPIO SVOLTO: Il perimetro di un quadrato di lato l è 4l. Per l=5 cm, la stessa regola dà 4·5=20 cm. DA RICORDARE: 2a significa due volte a, non il numero formato dalle cifre 2 e a. ESERCIZIO 1: Scrivi il doppio di un numero n aumentato di 3.

TESTO: Una lettera può indicare un valore noto, un’incognita da trovare o una variabile che assume valori diversi. Nelle formule geometriche rappresenta una misura. Il ruolo dipende dal problema. Una costante mantiene il valore fissato; una variabile può cambiarlo. ESEMPIO SVOLTO: In y=2x, x varia e y dipende da x. In x+4=9, x è l’incognita: il valore che rende vera l’uguaglianza è 5. DA RICORDARE: Specifica sempre che cosa rappresentano le lettere. ESERCIZIO 2: In A=b·h, quale grandezza rappresenta A per un rettangolo?

TESTO: Per valutare un’espressione si sostituisce ogni lettera con il valore assegnato. È utile racchiudere tra parentesi i valori negativi. Si rispettano poi le priorità delle operazioni. Se ci sono denominatori, si verifica che non diventino zero. ESEMPIO SVOLTO: Per a=−2, 3a^2−1=3·(−2)^2−1=12−1=11. DA RICORDARE: Sostituisci prima, calcola dopo: le parentesi evitano errori di segno. ESERCIZIO 3: Calcola 2x−y per x=−3 e y=4.

TESTO: Un monomio è un prodotto tra un coefficiente numerico e potenze di lettere con esponenti interi non negativi. Una costante numerica è anch’essa un monomio. Espressioni con una somma tra termini diversi o con lettere al denominatore non sono monomi nella definizione adottata. ESEMPIO SVOLTO: −3a^2b è un monomio. a+b e 2/a non lo sono; 2/a contiene la lettera con esponente −1. DA RICORDARE: Gli esponenti delle lettere di un monomio devono essere interi non negativi. ESERCIZIO 4: Quali sono monomi: 5x^2; x−1; −7; 3/y?

TESTO: Il coefficiente è il fattore numerico del monomio, incluso il segno. La parte letterale comprende le lettere con i loro esponenti. Se il coefficiente non è scritto, vale 1; con il solo segno meno vale −1. Prima di identificarli si riduce il prodotto. ESEMPIO SVOLTO: In −4a^2b il coefficiente è −4 e la parte letterale a^2b. In −xy il coefficiente è −1. DA RICORDARE: Il segno appartiene al coefficiente. ESERCIZIO 5: Indica coefficiente e parte letterale di 7x^3y e −a^2.

TESTO: Il grado complessivo di un monomio non nullo è la somma degli esponenti delle lettere. Il grado rispetto a una lettera è il suo esponente. Una costante non nulla ha grado zero. Il grado del monomio nullo non viene definito in questo percorso. ESEMPIO SVOLTO: 5a^2b^3 ha grado complessivo 2+3=5; grado 2 rispetto ad a e 3 rispetto a b. DA RICORDARE: Il coefficiente non contribuisce al grado. ESERCIZIO 6: Trova il grado complessivo di −8x^4y e di 6.

TESTO: Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale, con gli stessi esponenti. I coefficienti possono essere diversi. Sono opposti se sono simili e hanno coefficienti opposti. L’ordine dei fattori letterali non conta perché la moltiplicazione è commutativa. ESEMPIO SVOLTO: 3ab e −5ba sono simili, perché ba=ab. 4x^2 e −4x^2 sono opposti; 4x e 4x^2 non sono simili. DA RICORDARE: Lettere uguali con esponenti diversi non bastano per la similitudine. ESERCIZIO 7: Tra 2xy, −3yx, 2x^2y, quali sono simili?

TESTO: Si possono ridurre in un solo monomio soltanto termini simili. Si sommano algebricamente i coefficienti e si conserva la parte letterale. Con termini non simili la somma rimane indicata. Gli esponenti non cambiano quando si sommano monomi simili. ESEMPIO SVOLTO: 7x^2−3x^2=(7−3)x^2=4x^2. Invece 7x^2+3x non si riduce in un monomio. DA RICORDARE: Nella somma non si sommano gli esponenti. ESERCIZIO 8: Riduci 5ab−8ab+2ab.

TESTO: Nel prodotto si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti delle lettere uguali. Nel quoziente si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti. La divisione è ammessa dove il divisore è non nullo; il risultato è un monomio soltanto se gli esponenti finali sono non negativi. ESEMPIO SVOLTO: (3a^2b)(−2ab^3)=−6a^3b^4. 12x^3:(3x)=4x^2, per x≠0. DA RICORDARE: Per dividere, controlla sia il dominio sia gli esponenti del risultato. ESERCIZIO 9: Calcola (−2x^2)(4x^3) e 15a^4:(5a^2).

TESTO: Elevando un monomio a potenza si eleva il coefficiente e si moltiplicano tutti gli esponenti letterali per l’esponente esterno. Nelle espressioni si eseguono prima potenze e prodotti, poi si riducono i termini simili. La potenza riguarda tutti i fattori dentro la parentesi. ESEMPIO SVOLTO: (−2a^2b)^3=−8a^6b^3. Poi 2x·3x−x^2=6x^2−x^2=5x^2. DA RICORDARE: La potenza di un monomio agisce anche sul coefficiente. ESERCIZIO 10: Semplifica (−3x)^2−4x^2.

TESTO: Un polinomio è una somma algebrica di monomi. I monomi che lo compongono sono i termini. Dopo la riduzione, due termini danno un binomio e tre un trinomio. I coefficienti possono essere anche frazionari; gli esponenti delle lettere restano interi non negativi. ESEMPIO SVOLTO: 3x^2−2x+1 è un trinomio. x^2+1/x non è un polinomio nella lettera x. DA RICORDARE: Un polinomio non deve avere lettere al denominatore. ESERCIZIO 1: Quanti termini ha 2a^2−3a+5, dopo la riduzione?

TESTO: Prima di studiare un polinomio si raggruppano i monomi simili e si sommano i loro coefficienti. I termini che si annullano vengono eliminati. La forma ridotta rende più chiari il numero di termini e il grado. Si può ordinare per potenze decrescenti di una lettera. ESEMPIO SVOLTO: 3x^2+2x−x^2+5x−1=2x^2+7x−1. DA RICORDARE: Riduci prima di stabilire il grado. ESERCIZIO 2: Riduci 4a−2a^2+3a^2−a.

TESTO: Il grado complessivo di un polinomio non nullo ridotto è il massimo grado dei suoi monomi non nulli. Rispetto a una lettera si prende il massimo esponente di quella lettera. Eventuali annullamenti possono abbassare il grado, quindi prima bisogna ridurre. ESEMPIO SVOLTO: 2x^3y+x^2−1 ha grado complessivo 4, perché x^3y ha grado 3+1; rispetto a x ha grado 3. DA RICORDARE: Non sommare i gradi di tutti i termini. ESERCIZIO 3: Trova il grado complessivo di 5a^2b^2−3a+7.

TESTO: Per addizionare si eliminano le parentesi e si riducono i termini simili. Per sottrarre un polinomio si cambia il segno di ogni suo termine. Il meno davanti a una parentesi agisce su tutta la parentesi, non soltanto sul primo monomio. ESEMPIO SVOLTO: (2x+3)−(x−4)=2x+3−x+4=x+7. DA RICORDARE: Con il segno meno davanti alla parentesi cambia tutti i segni interni. ESERCIZIO 4: Calcola (3a^2−a)−(a^2+2a−1).

TESTO: Si applica la proprietà distributiva: il monomio moltiplica ciascun termine del polinomio. Ogni prodotto si calcola con le regole dei monomi, poi si riducono eventuali termini simili. Il segno del monomio va applicato a ogni prodotto. ESEMPIO SVOLTO: −2x(3x−4)=−6x^2+8x. DA RICORDARE: Moltiplica tutti i termini della parentesi. ESERCIZIO 5: Sviluppa 3a(2a^2−a+5).

TESTO: Ogni termine del primo polinomio deve moltiplicare ogni termine del secondo. Si scrivono tutti i prodotti e poi si riducono i termini simili. Per un binomio per un binomio ci sono quattro prodotti prima della riduzione. ESEMPIO SVOLTO: (x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6. DA RICORDARE: Controlla di aver formato tutti gli abbinamenti tra termini. ESERCIZIO 6: Sviluppa (a−2)(a+5).

TESTO: Si divide ogni termine del polinomio per il monomio divisore. Il divisore deve essere non nullo. Il risultato è un polinomio se ogni quoziente ha esponenti letterali non negativi. Anche quando una semplificazione elimina il divisore, le condizioni iniziali restano valide. ESEMPIO SVOLTO: (6x^3−9x^2):(3x)=2x^2−3x, per x≠0. DA RICORDARE: La semplificazione non rende ammissibile un valore inizialmente escluso. ESERCIZIO 7: Calcola (8a^3+4a^2):(4a^2).

TESTO: Il quadrato di una somma contiene i quadrati dei due termini e il doppio prodotto: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Per la differenza, (a−b)^2=a^2−2ab+b^2. La formula nasce dalla moltiplicazione del binomio per se stesso. ESEMPIO SVOLTO: (x+3)^2=x^2+6x+9. I due prodotti 3x e 3x insieme danno 6x. DA RICORDARE: Non dimenticare il doppio prodotto. ESERCIZIO 8: Sviluppa (2a−1)^2.

TESTO: Il prodotto (a+b)(a−b) è uguale alla differenza dei quadrati a^2−b^2. I termini misti sono opposti e si annullano. La formula permette sia di sviluppare prodotti sia di riconoscere semplici scomposizioni. ESEMPIO SVOLTO: (x+4)(x−4)=x^2−16. Anche 99·101=(100−1)(100+1)=10000−1=9999. DA RICORDARE: La formula richiede gli stessi due termini con segni opposti. ESERCIZIO 9: Sviluppa (3x+2)(3x−2).

TESTO: Per semplificare un’espressione si rispettano le priorità, si sviluppano i prodotti e si eliminano correttamente le parentesi. Poi si riducono i termini simili. Un valore numerico assegnato alla lettera può fornire un controllo, ma un solo controllo numerico non dimostra un’identità generale. ESEMPIO SVOLTO: (x+2)^2−x(x+4)=x^2+4x+4−x^2−4x=4. DA RICORDARE: Controlla i segni quando sottrai il risultato di un prodotto. ESERCIZIO 10: Semplifica (a−1)^2−(a^2−2a).

TESTO: Un’uguaglianza afferma che due espressioni hanno lo stesso valore. Un’identità è vera per tutti i valori ammissibili delle lettere. Un’equazione chiede per quali valori si verifica l’uguaglianza. Prima di scegliere la categoria si considerano eventuali restrizioni, come denominatori non nulli. ESEMPIO SVOLTO: 2(x+1)=2x+2 è un’identità; x+1=4 è vera soltanto per x=3. DA RICORDARE: Un’uguaglianza con lettere non è automaticamente un’identità. ESERCIZIO 1: La relazione 3a+a=4a è un’identità?

TESTO: Un’equazione è un’uguaglianza che contiene una o più incognite e di cui si cercano le soluzioni. I due lati sono primo e secondo membro. Le equazioni di primo grado a una incognita, dopo la riduzione, hanno forma ax=b con a diverso da zero; i casi a=0 vanno classificati separatamente. ESEMPIO SVOLTO: In 2x+3=11, 2x+3 è il primo membro e 11 il secondo. L’incognita compare alla prima potenza. DA RICORDARE: Il segno uguale separa i membri e non indica un’operazione da eseguire. ESERCIZIO 2: Individua incognita e membri di 5y−2=8.

TESTO: Una soluzione è un valore che, sostituito all’incognita, rende vera l’uguaglianza. Risolvere significa trovare tutti i valori ammessi che soddisfano l’equazione. Il risultato deve rispettare anche le condizioni del problema: un valore negativo può risolvere l’equazione ma essere inadatto per una lunghezza. ESEMPIO SVOLTO: In x+5=9, x=4 dà 4+5=9. Il valore x=3 dà 8=9, quindi non è soluzione. DA RICORDARE: Una soluzione deve rendere uguali i due membri. ESERCIZIO 3: Verifica se x=−2 risolve 3x+1=−5.

TESTO: Due equazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. I principi di equivalenza permettono di trasformare l’equazione in una forma più semplice senza alterare le soluzioni. Operazioni non consentite, come dividere per zero, non conservano questo significato. ESEMPIO SVOLTO: x+3=7 e x=4 sono equivalenti: entrambe hanno come unica soluzione 4. DA RICORDARE: Una trasformazione deve preservare tutte e sole le soluzioni. ESERCIZIO 4: x−2=5 e 2x=14 sono equivalenti?

TESTO: Aggiungendo o sottraendo la stessa quantità ai due membri si ottiene un’equazione equivalente. Il “trasporto” di un termine con cambio di segno è una scrittura abbreviata di questa operazione. Non è uno spostamento arbitrario dei simboli. ESEMPIO SVOLTO: x+6=10: sottraiamo 6 a entrambi i membri, x+6−6=10−6, quindi x=4. DA RICORDARE: Agisci su entrambi i membri allo stesso modo. ESERCIZIO 5: Risolvi x−8=−3.

TESTO: Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero diverso da zero si ottiene un’equazione equivalente. La divisione serve a isolare l’incognita quando è moltiplicata per un coefficiente. Il segno del coefficiente va conservato. ESEMPIO SVOLTO: −3x=12: dividiamo entrambi i membri per −3, quindi x=−4. DA RICORDARE: Il numero usato per dividere deve essere non nullo. ESERCIZIO 6: Risolvi 5x=−20.

TESTO: Si eliminano le parentesi, si portano i termini con l’incognita in un membro e quelli noti nell’altro, poi si riduce. Se il coefficiente finale dell’incognita è non nullo si divide per esso. Scrivere tutti i passaggi rende chiaro l’uso dei principi di equivalenza. ESEMPIO SVOLTO: 3x+2=x+10 → 3x−x=10−2 → 2x=8 → x=4. DA RICORDARE: Prima riduci, poi dividi per il coefficiente dell’incognita. ESERCIZIO 7: Risolvi 4x−5=2x+7.

TESTO: Per eliminare denominatori numerici si moltiplicano tutti i termini di entrambi i membri per il loro minimo comune multiplo. I denominatori sono numeri non nulli; non si tratta qui di equazioni con l’incognita al denominatore. Poi si applica la distributiva e si risolve. ESEMPIO SVOLTO: x/2+1=x/3+3. Moltiplicando per 6: 3x+6=2x+18, quindi x=12. DA RICORDARE: Moltiplica ogni termine, anche quelli senza frazioni. ESERCIZIO 8: Risolvi 2(x−1)=x+4 e x/3+2=5.

TESTO: Dopo la riduzione si può ottenere ax=b. Se a≠0 esiste una sola soluzione: l’equazione è determinata. Se a=0 e b=0 l’uguaglianza è sempre vera nel dominio: è indeterminata. Se a=0 e b≠0 non esistono soluzioni: è impossibile. ESEMPIO SVOLTO: 2x+1=2x+1 porta a 0=0. Invece 2x+1=2x+4 porta a 0=3: nessun valore può renderla vera. DA RICORDARE: Quando il coefficiente dell’incognita è zero non dividere: classifica il caso. ESERCIZIO 9: Classifica x+2=x+5 e 3(x+1)=3x+3.

TESTO: Si sostituisce la soluzione nell’equazione iniziale, non solo nell’ultima forma semplificata. Si calcolano separatamente i membri e si verifica che coincidano. Il controllo può rivelare errori di segno o di distributiva. Nei problemi si verifica anche il significato concreto del risultato. ESEMPIO SVOLTO: Per 2x−3=7 e x=5, primo membro 2·5−3=7 e secondo membro 7: la soluzione è verificata. DA RICORDARE: Usa l’equazione originale per un controllo utile. ESERCIZIO 10: Verifica x=3 nell’equazione 4(x−1)=2x+2.

TESTO: Prima di calcolare si distingue ciò che è noto da ciò che si cerca. Si controllano unità di misura, relazioni e vincoli. Non tutti i numeri presenti nel testo sono necessariamente utili. Un disegno o una tabella può rendere visibili i rapporti tra le grandezze. ESEMPIO SVOLTO: Un rettangolo ha perimetro 30 cm e base doppia dell’altezza. Dati: P=30 cm e b=2h; richiesta: le due dimensioni. DA RICORDARE: Non iniziare un’equazione prima di aver capito la domanda. ESERCIZIO 1: In “tre quaderni uguali costano 9 euro”, identifica dato e incognita.

TESTO: Si assegna una lettera alla quantità da trovare e si dichiara il suo significato. Le altre quantità si esprimono attraverso la stessa lettera, quando possibile. Vanno indicati i vincoli: per esempio x>0 per una lunghezza o x intero non negativo per un numero di oggetti. ESEMPIO SVOLTO: Se Luca ha 4 anni più di Sara, poniamo x=età di Sara e x+4=età di Luca. DA RICORDARE: La stessa lettera deve mantenere lo stesso significato. ESERCIZIO 2: Due numeri consecutivi: scegli x per il minore e scrivi il maggiore.

TESTO: Le relazioni del testo diventano operazioni. “Il doppio di un numero più 5” è 2x+5; “il doppio della somma di un numero e 5” è 2(x+5). Le parentesi esprimono il raggruppamento descritto dalle parole. Una traduzione imprecisa può cambiare il problema. ESEMPIO SVOLTO: “Un numero diminuito di 3 vale il suo doppio diminuito di 8” diventa x−3=2x−8. DA RICORDARE: Distingui una somma raddoppiata da un solo termine raddoppiato. ESERCIZIO 3: Traduci: la metà di un numero, aumentata di 7, vale 12.

TESTO: Dopo aver tradotto le quantità si individua la relazione che le mette in uguaglianza. Si risolve l’equazione e si scrive la risposta in parole, con le unità corrette. Il valore della lettera può essere soltanto un passaggio intermedio verso la quantità richiesta. ESEMPIO SVOLTO: Tre biglietti uguali più 2 € di commissione costano 20 €. 3x+2=20 → 3x=18 → x=6. Ogni biglietto costa 6 €. DA RICORDARE: La risposta finale deve riferirsi alla domanda del testo. ESERCIZIO 4: Quattro penne uguali e un quaderno da 3 € costano 11 €. Quanto costa una penna?

TESTO: Nei problemi numerici si traducono somme, differenze, multipli e consecutività. Nei problemi con età il tempo trascorso si aggiunge a tutte le persone coinvolte. La differenza di età resta costante, mentre i rapporti tra età cambiano nel tempo. ESEMPIO SVOLTO: Un padre ha 36 anni e il figlio 12. Tra t anni il padre avrà il doppio dell’età del figlio: 36+t=2(12+t), quindi t=12. DA RICORDARE: Aggiungi gli anni trascorsi a entrambe le età. ESERCIZIO 5: Due numeri consecutivi hanno somma 27: quali sono?

TESTO: Una percentuale è un rapporto su cento. Uno sconto del p% lascia da pagare (1−p/100) del prezzo iniziale. Nelle proporzioni si può uguagliare il prodotto dei medi a quello degli estremi, con rapporti definiti. La base percentuale va identificata con attenzione. ESEMPIO SVOLTO: Un prezzo scontato del 20% è 64 €. Se x è il prezzo iniziale, 0,80x=64 → x=80 €. DA RICORDARE: Per risalire al prezzo iniziale non aggiungere semplicemente la stessa percentuale al prezzo finale. ESERCIZIO 6: Dopo uno sconto del 25%, una giacca costa 90 €. Trova il prezzo iniziale.

TESTO: Le formule di perimetri e aree diventano relazioni tra le incognite. Prima si uniformano le unità. Le soluzioni devono essere positive per le lunghezze. Un’equazione di primo grado si ottiene quando, dopo le sostituzioni, l’incognita compare alla prima potenza. ESEMPIO SVOLTO: Rettangolo con P=30 cm e b=2h: poniamo h=x, quindi 2(2x+x)=30 → 6x=30 → h=5 cm e b=10 cm. DA RICORDARE: Un risultato negativo per una lunghezza segnala che il problema non è soddisfatto. ESERCIZIO 7: Un rettangolo ha base 3 cm più lunga dell’altezza e perimetro 26 cm. Trova le dimensioni.

TESTO: Si reinseriscono i valori nelle relazioni originali e si valutano plausibilità e vincoli. Una risposta può essere algebricamente corretta ma inadatta al contesto, per esempio un numero non intero di persone. Se i dati sono incompatibili bisogna dirlo, non forzare il risultato. ESEMPIO SVOLTO: Due numeri interi consecutivi con somma 10 darebbero 2x+1=10 → x=4,5. Poiché x deve essere intero, il problema non ha soluzione tra interi consecutivi. DA RICORDARE: Il dominio del problema conta quanto il calcolo. ESERCIZIO 8: Una soluzione propone 2,5 autobus. È accettabile come numero di autobus necessari?

TESTO: Il piano cartesiano usa due rette perpendicolari: l’asse orizzontale x, detto delle ascisse, e quello verticale y, detto delle ordinate. Il loro incontro è l’origine O. Si fissano scale e versi positivi. Per le distanze geometriche è opportuno usare la stessa unità sui due assi. ESEMPIO SVOLTO: L’origine ha coordinate (0;0). Il punto (3;0) sta sull’asse x, tre unità a destra dell’origine. DA RICORDARE: Gli assi vanno etichettati e graduati. ESERCIZIO 1: Su quale asse si trova (0;−4)?

TESTO: Le coordinate si scrivono nell’ordine (x;y). Prima si percorre lo spostamento orizzontale, poi quello verticale. Nei quadranti I, II, III e IV i segni sono rispettivamente (+,+), (−,+), (−,−), (+,−). I punti sugli assi non appartengono a un quadrante. ESEMPIO SVOLTO: P=(−2;3): due unità a sinistra e tre in alto; appartiene al II quadrante. DA RICORDARE: Non invertire ascissa e ordinata. ESERCIZIO 2: Indica i quadranti di (4;−1) e (−3;−2).

TESTO: Per costruire una figura si collocano i vertici e si collegano nell’ordine assegnato. Le coordinate permettono di riconoscere lati paralleli agli assi e simmetrie. Il disegno aiuta, ma lunghezze e aree devono essere calcolate usando la scala corretta. ESEMPIO SVOLTO: A=(0;0), B=(4;0), C=(4;3), D=(0;3) formano un rettangolo di base 4 e altezza 3. Area 12 unità quadrate. DA RICORDARE: L’ordine dei vertici cambia i segmenti tracciati. ESERCIZIO 3: Trova il perimetro del rettangolo con vertici (0;0), (5;0), (5;2), (0;2).

TESTO: Con la stessa scala sui due assi, la distanza tra A e B si ottiene con Pitagora: d=√[(xB−xA)^2+(yB−yA)^2]. Per punti sulla stessa orizzontale basta il valore assoluto della differenza delle ascisse; sulla stessa verticale si usano le ordinate. ESEMPIO SVOLTO: A=(1;2), B=(4;6): differenze 3 e 4; d=√(9+16)=5. DA RICORDARE: La distanza è non negativa, anche se una differenza di coordinate è negativa. ESERCIZIO 4: Calcola la distanza tra (−2;1) e (3;1).

TESTO: Le coordinate del punto medio sono le medie delle coordinate degli estremi: M=((xA+xB)/2;(yA+yB)/2). La formula vale anche con coordinate negative. Il punto medio appartiene al segmento ed è equidistante dagli estremi. ESEMPIO SVOLTO: A=(−2;4), B=(6;0): M=((−2+6)/2;(4+0)/2)=(2;2). DA RICORDARE: Si calcola la media, non la differenza delle coordinate. ESERCIZIO 5: Trova il punto medio di A=(1;−3), B=(5;7).

TESTO: Una grandezza costante mantiene il valore nel contesto considerato; una variabile può assumere valori diversi. La variabile indipendente è quella scelta come ingresso, la dipendente viene determinata dalla relazione. Essere costante dipende dal modello, non è una proprietà assoluta della grandezza. ESEMPIO SVOLTO: Con biglietti da 4 € ciascuno, il prezzo unitario è costante e il costo totale varia con il numero di biglietti: C=4n. DA RICORDARE: Dichiara quali grandezze cambiano e quali restano fissate. ESERCIZIO 6: A velocità costante di 60 km/h, qual è la variabile dipendente in s=60t?

TESTO: Una funzione associa a ogni valore ammesso dell’ingresso uno e un solo valore di uscita. Il dominio contiene gli ingressi consentiti. Una formula può richiedere esclusioni, per esempio x≠0 in y=1/x. Una tabella o un grafico possono rappresentare la stessa funzione. ESEMPIO SVOLTO: y=x^2 assegna a x=−2 il valore 4 e a x=2 ancora 4. Ingressi diversi possono avere la stessa uscita. DA RICORDARE: È l’uscita per uno stesso ingresso a dover essere unica. ESERCIZIO 7: La relazione che assegna a x=1 sia y=2 sia y=3 è una funzione?

TESTO: Una tabella raccoglie coppie di valori; il grafico le rappresenta come punti. Per disegnarlo si scelgono scale leggibili e si indicano unità e dominio. Non sempre è corretto collegare i punti: una quantità discreta, come il numero di persone, ammette solo determinati ingressi. ESEMPIO SVOLTO: Per y=2x+1, agli ingressi 0, 1, 2 corrispondono 1, 3, 5. Se x è reale, i punti appartengono a una retta continua. DA RICORDARE: Una tabella di pochi valori non descrive da sola tutti gli ingressi possibili. ESERCIZIO 8: Completa y=3x per x=−1, 0, 2.

TESTO: Due grandezze sono direttamente proporzionali se il loro rapporto y/x è costante per x≠0. La relazione è y=kx e il grafico è una retta passante per l’origine. Raddoppiando x raddoppia y. Una retta con termine noto diverso da zero non rappresenta proporzionalità diretta. ESEMPIO SVOLTO: A 2 €/kg, il costo di x kg è y=2x. Per 3 kg si pagano 6 €, per 6 kg 12 €. DA RICORDARE: La retta deve passare per l’origine. ESERCIZIO 9: Se y=5x, trova y per x=4 e il coefficiente di proporzionalità.

TESTO: Nella proporzionalità inversa il prodotto xy è costante: xy=k, quindi y=k/x con x≠0. Raddoppiando x, y si dimezza. Il grafico, per k non nullo, è un’iperbole. Nei problemi reali spesso si considera soltanto il ramo con valori positivi. ESEMPIO SVOLTO: Per un viaggio di 120 km a velocità costante v, il tempo è t=120/v. A 60 km/h servono 2 h, a 120 km/h 1 h. DA RICORDARE: Il modello richiede che la distanza resti fissata. ESERCIZIO 10: Se xy=24 e x=6, quanto vale y? E per x=12?

TESTO: Il grafico di y=mx+q è una retta. m è il coefficiente angolare: indica quanto cambia y quando x aumenta di una unità. q è l’ordinata dell’intersezione con l’asse y. Se m=0 la retta è orizzontale; se q=0 si ha y=mx. ESEMPIO SVOLTO: In y=2x+3, m=2 e q=3. I punti (0;3) e (1;5) permettono di tracciare la retta. DA RICORDARE: Una retta verticale non può essere scritta come y=mx+q. ESERCIZIO 11: Indica m e q in y=−3x+4 e calcola y per x=2.

TESTO: Per leggere un grafico si controllano titolo, assi, unità e scale. Si individuano valori, intervalli di crescita o diminuzione e punti significativi. Un grafico descrive una relazione; non dimostra da solo una causa. Scale troncate possono amplificare visivamente piccole differenze. ESEMPIO SVOLTO: Un grafico temperatura-tempo passa da (8 h;10 °C) a (10 h;14 °C): l’aumento è 4 °C in 2 ore, cioè 2 °C/h in media. DA RICORDARE: Distingui il valore letto dal cambiamento tra due valori. ESERCIZIO 12: Un costo passa da 20 a 26 €: qual è l’aumento assoluto e percentuale?

TESTO: Il perimetro misura il contorno ed è una lunghezza. L’area misura la superficie e usa unità quadrate. Rettangolo: A=bh; triangolo: A=bh/2; parallelogramma: A=bh; trapezio: A=(B+b)h/2. L’altezza è perpendicolare alla base scelta. ESEMPIO SVOLTO: Un triangolo con base 8 cm e altezza 5 cm ha area 8·5/2=20 cm². Il perimetro richiede le lunghezze dei tre lati. DA RICORDARE: Non usare un lato obliquo al posto dell’altezza. ESERCIZIO 1: Calcola area e perimetro di un rettangolo 7 cm per 3 cm.

TESTO: In un triangolo rettangolo, il quadrato dell’ipotenusa è la somma dei quadrati dei cateti: c²=a²+b². L’ipotenusa è opposta all’angolo retto ed è il lato maggiore. Per ricavare un cateto si usa a=√(c²−b²). Il teorema non vale con la stessa formula per triangoli qualsiasi. ESEMPIO SVOLTO: Cateti 6 e 8 cm: c=√(36+64)=10 cm. DA RICORDARE: Individua l’angolo retto prima di scegliere l’ipotenusa. ESERCIZIO 2: Trova il cateto mancante se c=13 cm e l’altro cateto è 5 cm.

TESTO: Pitagora permette di trovare un lato conoscendo gli altri due. Può anche verificare che un triangolo con lati positivi sia rettangolo, se il quadrato del maggiore è la somma degli altri quadrati. Le terne 3-4-5 e 5-12-13 sono esempi frequenti. ESEMPIO SVOLTO: Lati 9, 12, 15: 9²+12²=225=15², quindi il triangolo è rettangolo. DA RICORDARE: Confronta il quadrato del lato maggiore con la somma degli altri due. ESERCIZIO 3: Il triangolo di lati 6, 8 e 11 è rettangolo?

TESTO: Si cerca all’interno della figura un triangolo rettangolo. La diagonale di un rettangolo è l’ipotenusa di un triangolo con cateti uguali ai lati. In un rombo le diagonali sono perpendicolari e si dimezzano: il lato si ricava con le semidiagonali. ESEMPIO SVOLTO: Rombo con diagonali 6 e 8 cm: semidiagonali 3 e 4; lato √(9+16)=5 cm. Perimetro 20 cm. DA RICORDARE: Nei rombi usa metà delle diagonali per trovare il lato. ESERCIZIO 4: Trova la diagonale di un rettangolo di lati 5 e 12 cm.

TESTO: Due figure simili hanno la stessa forma: angoli corrispondenti uguali e lati corrispondenti in proporzione. Le dimensioni possono cambiare. Figure congruenti sono un caso di similitudine con rapporto 1. Tutti i quadrati sono simili; due rettangoli qualsiasi non lo sono necessariamente. ESEMPIO SVOLTO: Rettangoli 2×3 e 4×6 sono simili; 2×3 e 4×5 no, perché i rapporti dei lati non coincidono. DA RICORDARE: Confronta lati corrispondenti nello stesso ordine. ESERCIZIO 5: I rettangoli 3×5 e 6×10 sono simili?

TESTO: Il rapporto k è il quoziente tra una lunghezza della figura trasformata e la corrispondente lunghezza di quella iniziale. Se k>1 si ingrandisce; se 0<k<1 si riduce. Tutte le lunghezze corrispondenti, comprese altezze e diagonali, vengono moltiplicate per k. ESEMPIO SVOLTO: Con k=3, un lato di 4 cm diventa 12 cm e un’altezza di 2 cm diventa 6 cm. DA RICORDARE: Dichiara la direzione del rapporto: finale diviso iniziale. ESERCIZIO 6: Un lato passa da 8 a 6 cm. Trova k.

TESTO: Due triangoli sono simili se hanno due angoli corrispondenti uguali; oppure due lati corrispondenti proporzionali e l’angolo compreso uguale; oppure tutti i lati corrispondenti proporzionali. Il terzo angolo è determinato dagli altri due, perché la somma è 180°. ESEMPIO SVOLTO: Triangoli con angoli 40°, 60°, 80° e 40°, 60°, 80° sono simili anche se hanno lati di lunghezze diverse. DA RICORDARE: L’angolo del secondo criterio deve essere quello compreso tra i lati confrontati. ESERCIZIO 7: Triangoli con lati 3,4,5 e 6,8,10 sono simili?

TESTO: In figure simili i perimetri hanno rapporto k, mentre le aree hanno rapporto k². Ogni lunghezza viene moltiplicata per k: nell’area intervengono due dimensioni. Per risalire dal rapporto tra aree al rapporto tra lunghezze si prende la radice quadrata positiva. ESEMPIO SVOLTO: Con k=3, un perimetro di 10 cm diventa 30 cm e un’area di 8 cm² diventa 72 cm². DA RICORDARE: Raddoppiare i lati quadruplica l’area. ESERCIZIO 8: Due figure simili hanno rapporto tra aree 25. Qual è il rapporto tra lati, nella stessa direzione?

TESTO: La scala è il rapporto tra lunghezza nel disegno e lunghezza reale, espresse nella stessa unità. Una scala 1:100 significa che 1 cm nel disegno corrisponde a 100 cm reali. Le aree non si trasformano con lo stesso fattore delle lunghezze. ESEMPIO SVOLTO: In scala 1:200, 3 cm corrispondono a 600 cm, cioè 6 m. DA RICORDARE: Uniforma le unità prima di calcolare il rapporto. ESERCIZIO 9: Una parete di 4 m quanto misura in scala 1:50?

TESTO: Si individuano le corrispondenze, si calcola k e si applica il rapporto alla grandezza richiesta. Per problemi con ombre servono condizioni che producano triangoli simili: terreno orizzontale, oggetti verticali e raggi solari considerati paralleli. Il modello deve essere esplicitato. ESEMPIO SVOLTO: Un’asta alta 2 m ha ombra 1,5 m; un albero ha ombra 6 m nelle stesse condizioni. h/2=6/1,5=4, quindi h=8 m. DA RICORDARE: Le proporzioni devono accoppiare grandezze corrispondenti. ESERCIZIO 10: Un’asta di 1,5 m ha ombra 2 m; un palo ha ombra 8 m. Trova l’altezza del palo.

TESTO: La circonferenza è l’insieme dei punti del piano a distanza r dal centro. Il cerchio è la regione delimitata dalla circonferenza, bordo compreso. La circonferenza si misura come una lunghezza; il cerchio ha un’area. La distinzione aiuta a scegliere formule e unità. ESEMPIO SVOLTO: Per un disco, il bordo è una circonferenza e tutta la superficie è un cerchio. DA RICORDARE: Non confondere contorno e superficie. ESERCIZIO 1: Per una pista circolare, il giro lungo il bordo è una lunghezza o un’area?

TESTO: Il centro è il punto di riferimento. Il raggio unisce il centro a un punto della circonferenza. Il diametro è una corda passante per il centro e misura due raggi: d=2r. Tutti i raggi della stessa circonferenza hanno uguale lunghezza. ESEMPIO SVOLTO: Se d=14 cm, r=14/2=7 cm. DA RICORDARE: Prima di usare una formula controlla se il dato è raggio o diametro. ESERCIZIO 2: Trova il diametro se r=4,5 cm.

TESTO: Una corda unisce due punti della circonferenza. Un arco è una parte della circonferenza compresa tra due estremi. Il diametro è la corda più lunga. La perpendicolare condotta dal centro a una corda la divide in due parti uguali, formando triangoli rettangoli utili per Pitagora. ESEMPIO SVOLTO: Con r=5 cm e distanza centro-corda 3 cm, metà corda misura √(25−9)=4 cm; la corda intera è 8 cm. DA RICORDARE: La corda è un segmento; l’arco è curvo. ESERCIZIO 3: Una corda passa per il centro: come si chiama?

TESTO: Una retta è esterna se non incontra la circonferenza, tangente se ha un punto in comune, secante se ne ha due. Confrontando la distanza perpendicolare h del centro dalla retta con r: h>r, h=r, h<r danno rispettivamente i tre casi. Il raggio nel punto di tangenza è perpendicolare alla tangente. ESEMPIO SVOLTO: Per r=4 cm e h=4 cm, la retta è tangente. DA RICORDARE: Misura la distanza lungo la perpendicolare alla retta. ESERCIZIO 4: Con r=6 cm e h=2 cm, la retta è esterna, tangente o secante?

TESTO: Per raggi positivi r1 e r2 e distanza d tra i centri, si confronta d con r1+r2 e con il valore assoluto di r1−r2. Se d è maggiore della somma sono esterne; se è uguale sono tangenti esternamente. Tra differenza e somma sono secanti. Alla differenza sono tangenti internamente, salvo il caso coincidente; sotto la differenza una è interna all’altra senza contatto. ESEMPIO SVOLTO: Con raggi 5 e 3 cm e d=6 cm, 2<6<8: due punti in comune. Con d=0 e raggi uguali le circonferenze coincidono; con raggi diversi sono concentriche distinte. DA RICORDARE: Centri uguali non significano sempre circonferenze coincidenti. ESERCIZIO 5: Raggi 4 e 2 cm, distanza centri 6 cm: quale posizione?

TESTO: L’angolo al centro ha vertice nel centro; l’angolo alla circonferenza ha vertice sul bordo. Se insistono sullo stesso arco, l’angolo al centro ha ampiezza doppia di quello alla circonferenza. Gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali. ESEMPIO SVOLTO: Un angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza misura 90°, perché il corrispondente angolo al centro misura 180°. DA RICORDARE: Confronta gli angoli riferiti allo stesso arco. ESERCIZIO 6: Un angolo al centro misura 100°. Quanto misura quello alla circonferenza sullo stesso arco?

TESTO: Un poligono è inscritto se tutti i vertici appartengono alla circonferenza. È circoscritto se tutti i lati sono tangenti. Nei poligoni regolari il centro della circonferenza coincide con quello del poligono; l’apotema è il raggio della circonferenza inscritta. L’area del poligono regolare è P·a/2. ESEMPIO SVOLTO: Un quadrato di lato 6 cm ha apotema 3 cm. P·a/2=24·3/2=36 cm². DA RICORDARE: Apotema e raggio della circonferenza circoscritta non coincidono in generale. ESERCIZIO 7: Trova l’apotema di un quadrato di lato 10 cm.

TESTO: Il rapporto tra lunghezza della circonferenza e diametro è la costante π. Quindi C=πd=2πr. π è irrazionale; 3,14 è un’approssimazione. Conviene conservare π nei calcoli esatti e approssimare soltanto alla fine, secondo la precisione richiesta. ESEMPIO SVOLTO: Con r=5 cm, C=10π cm≈31,42 cm, usando una precisione sufficiente per arrotondare ai centesimi. DA RICORDARE: Se usi π≈3,14, il valore ottenuto è approssimato. ESERCIZIO 8: Calcola la circonferenza con d=8 cm, in forma esatta.

TESTO: La lunghezza di un arco è la stessa frazione della circonferenza che il suo angolo al centro rappresenta rispetto a 360°. Per un angolo α in gradi, l=2πr·α/360°. Una semicirconferenza corrisponde a 180°, un quarto a 90°. ESEMPIO SVOLTO: Con r=6 cm e α=60°, l=12π·60/360=2π cm. DA RICORDARE: La formula usa l’angolo al centro, non quello alla circonferenza. ESERCIZIO 9: Trova un arco di 90° in una circonferenza di raggio 4 cm.

TESTO: L’area è A=πr². Se è dato il diametro, prima si divide per due. Conoscendo l’area, il raggio è r=√(A/π). Le unità sono quadrate. Il raddoppio del raggio quadruplica l’area, perché il raggio compare al quadrato. ESEMPIO SVOLTO: Con d=10 cm, r=5 cm e A=25π cm². DA RICORDARE: Non confondere πr² con 2πr. ESERCIZIO 10: Trova l’area di un cerchio con r=3 cm.

TESTO: Il settore è la parte del cerchio delimitata da due raggi e un arco: Asett=πr²·α/360°. La corona è la regione tra due circonferenze concentriche: Acor=π(R²−r²), con R>r. La sottrazione riguarda i quadrati dei raggi, non il quadrato della differenza. ESEMPIO SVOLTO: Per R=5 e r=3 cm, Acor=π(25−9)=16π cm². Un settore di 90° con r=4 cm ha area 4π cm². DA RICORDARE: Il perimetro di un settore comprende l’arco e i due raggi. ESERCIZIO 11: Calcola una corona con R=6 e r=2 cm.

TESTO: Si scompone la figura in regioni semplici, sommando quelle presenti e sottraendo eventuali aperture. Per il perimetro si contano soltanto i tratti sul contorno esterno o sui bordi richiesti: segmenti interni condivisi non fanno parte del contorno esterno. ESEMPIO SVOLTO: Un quadrato di lato 10 cm contiene un foro circolare di raggio 2 cm. Area restante: 100−4π cm². Il bordo del foro non modifica il solo contorno esterno del quadrato. DA RICORDARE: Specifica se il problema richiede anche il bordo di un foro. ESERCIZIO 12: Trova l’area di un semicerchio di raggio 4 cm.

TESTO: Nello spazio una figura può estendersi in tre dimensioni. Un piano è una superficie ideale illimitata; una retta è illimitata in entrambe le direzioni. Tre punti non allineati determinano un piano. I disegni sul foglio rappresentano lo spazio con convenzioni prospettiche e linee tratteggiate per parti nascoste. ESEMPIO SVOLTO: Tre vertici non allineati di una faccia di un cubo determinano il piano della faccia. DA RICORDARE: Una figura tridimensionale disegnata sul foglio non ha tutte le misure visivamente in scala. ESERCIZIO 1: Quanti punti non allineati bastano a determinare un piano?

TESTO: Due rette distinte nello spazio possono essere incidenti, parallele o sghembe. Le sghembe non si incontrano e non appartengono allo stesso piano. Una retta può essere contenuta in un piano, incontrarlo in un punto o essere parallela senza punti comuni. Due piani distinti possono essere paralleli o incontrarsi lungo una retta. ESEMPIO SVOLTO: Due spigoli di un cubo che non sono paralleli, non si incontrano e non sono complanari sono sghembi. DA RICORDARE: Due rette che non si incontrano non sono necessariamente parallele nello spazio. ESERCIZIO 2: Come si incontrano due piani distinti non paralleli?

TESTO: I poliedri sono solidi delimitati da facce poligonali, come prismi e piramidi. I solidi di rotazione si possono ottenere facendo ruotare figure piane attorno a un asse. Cilindro, cono e sfera possiedono superfici curve e non sono poliedri. ESEMPIO SVOLTO: Un rettangolo ruotato attorno a un lato genera un cilindro; un triangolo rettangolo attorno a un cateto genera un cono. DA RICORDARE: Una superficie curva esclude il solido dalla categoria dei poliedri. ESERCIZIO 3: Cubo e cilindro: quale è un poliedro?

TESTO: Una faccia è una regione poligonale del bordo di un poliedro. Uno spigolo è un lato condiviso da due facce; un vertice è un estremo degli spigoli. Per un poliedro convesso vale la relazione di Eulero V−S+F=2. La convessità significa che ogni segmento tra punti del solido resta nel solido. ESEMPIO SVOLTO: Il cubo ha 8 vertici, 12 spigoli e 6 facce: 8−12+6=2. DA RICORDARE: La relazione indicata si applica qui ai poliedri convessi. ESERCIZIO 4: Verifica Eulero per un tetraedro: V=4, S=6, F=4.

TESTO: Uno sviluppo dispone su un piano le parti della superficie di un solido senza sovrapposizioni, in modo da ricostruirlo piegando o avvolgendo. Serve per capire la superficie totale. Non tutte le disposizioni di sei quadrati formano un cubo. La sfera non ha uno sviluppo piano esatto senza deformazioni. ESEMPIO SVOLTO: Un cubo di lato 2 cm ha sviluppo formato da sei quadrati, ciascuno di area 4 cm²: totale 24 cm². DA RICORDARE: Controlla che le facce si richiudano senza sovrapporsi. ESERCIZIO 5: Quanta area di cartoncino serve per un cubo chiuso di lato 3 cm, trascurando linguette e scarti?

TESTO: La superficie laterale comprende le parti diverse dalle basi nei solidi per cui questa distinzione è prevista. La superficie totale comprende tutto il bordo. Un prisma e un cilindro chiusi hanno due basi; una piramide e un cono hanno una base. Un contenitore aperto richiede una formula adattata. ESEMPIO SVOLTO: Un cilindro chiuso ha St=Sl+2Ab. Senza coperchio, la superficie materiale è Sl+Ab. DA RICORDARE: Conta quante basi sono effettivamente presenti. ESERCIZIO 6: Un prisma ha Sl=40 cm² e ciascuna base di 12 cm². Trova St.

TESTO: Il volume misura lo spazio occupato da un solido e usa unità cubiche. Due solidi sono equivalenti se hanno lo stesso volume, anche se forma e superficie differiscono. Per prismi e cilindri V=Ab·h; per piramidi e coni V=Ab·h/3. ESEMPIO SVOLTO: Un prisma di base 10 cm² e altezza 6 cm ha volume 60 cm³. Una piramide con gli stessi dati ha 20 cm³. DA RICORDARE: Superficie uguale non implica volume uguale. ESERCIZIO 7: Due solidi hanno volume 48 cm³ ma forme diverse: sono equivalenti?

TESTO: Tra unità cubiche consecutive del sistema metrico il fattore è 1000. Per esempio 1 m³=1000 dm³ e 1 dm³=1000 cm³. La capacità si misura spesso in litri: 1 L=1 dm³ e 1 mL=1 cm³. Le equivalenze sono essenziali prima di applicare formule. ESEMPIO SVOLTO: 2,5 L=2,5 dm³=2500 cm³. Invece 2,5 m³=2500 L. DA RICORDARE: Non usare il fattore 10 delle lunghezze nelle conversioni cubiche. ESERCIZIO 8: Converti 3500 cm³ in litri e 0,4 m³ in litri.

TESTO: La densità è il rapporto tra massa e volume: ρ=m/V. Da questa formula m=ρV e V=m/ρ. Le unità devono essere coerenti: g/cm³ con grammi e cm³, oppure kg/m³ con kilogrammi e m³. La massa non coincide con il peso, che è una forza. ESEMPIO SVOLTO: Un materiale di densità 2 g/cm³ e volume 30 cm³ ha massa 60 g. DA RICORDARE: La densità di un materiale va riferita alle condizioni considerate. ESERCIZIO 9: Un oggetto ha massa 120 g e volume 40 cm³. Trova la densità.

TESTO: Un prisma ha due basi poligonali congruenti e parallele, collegate da facce laterali che sono parallelogrammi. Nel prisma retto gli spigoli laterali sono perpendicolari alle basi e le facce laterali sono rettangoli. L’altezza è la distanza perpendicolare tra i piani delle basi. ESEMPIO SVOLTO: Un prisma triangolare ha due basi triangolari e tre facce laterali: cinque facce in totale. DA RICORDARE: Nel prisma obliquo lo spigolo laterale non coincide con l’altezza. ESERCIZIO 1: Quante facce laterali ha un prisma pentagonale?

TESTO: Lo sviluppo laterale di un prisma retto è formato da rettangoli di uguale altezza. La loro area totale è Sl=Pb·h, dove Pb è il perimetro della base. La superficie totale è St=Pb·h+2Ab. Per prismi obliqui la formula laterale richiede altri dati. ESEMPIO SVOLTO: Prisma retto con Pb=18 cm, h=5 cm, Ab=20 cm²: Sl=90 cm² e St=130 cm². DA RICORDARE: Non sostituire l’area al perimetro nella formula laterale. ESERCIZIO 2: Calcola St se Pb=12 cm, h=4 cm e Ab=8 cm².

TESTO: Il volume di un prisma è V=Ab·h, anche se il prisma è obliquo, purché h sia l’altezza perpendicolare. L’area di base va calcolata secondo la forma del poligono. Dal volume si ricavano h=V/Ab o Ab=V/h, con grandezze positive. ESEMPIO SVOLTO: Base triangolare con b=6 cm e altezza del triangolo 4 cm: Ab=12 cm². Altezza del prisma 10 cm: V=120 cm³. DA RICORDARE: Distingui l’altezza della base dall’altezza del solido. ESERCIZIO 3: Trova h con V=84 cm³ e Ab=12 cm².

TESTO: Ha sei facce rettangolari, uguali a coppie. Con dimensioni a, b e c, V=abc e St=2(ab+ac+bc). Scelta una base a×b, la superficie laterale è 2(a+b)c. Le tre dimensioni devono essere espresse nella stessa unità. ESEMPIO SVOLTO: Con a=2, b=3, c=4 cm: V=24 cm³ e St=2(6+8+12)=52 cm². DA RICORDARE: La scelta della base cambia la superficie laterale, ma non la totale. ESERCIZIO 4: Trova V e St per dimensioni 3, 4 e 5 cm.

TESTO: Il cubo è un parallelepipedo rettangolo con tutti gli spigoli uguali. Ha sei facce quadrate. Con spigolo l: St=6l² e V=l³. Se l raddoppia, la superficie quadruplica e il volume diventa otto volte maggiore. ESEMPIO SVOLTO: Con l=4 cm: St=6·16=96 cm²; V=64 cm³. DA RICORDARE: Superficie e volume usano potenze diverse dello spigolo. ESERCIZIO 5: Un cubo ha spigolo 5 cm. Trova St e V.

TESTO: La diagonale interna di un parallelepipedo rettangolo si ottiene applicando Pitagora due volte: D=√(a²+b²+c²). Nel cubo D=l√3, mentre la diagonale di una faccia è l√2. Sono segmenti diversi e non vanno confusi. ESEMPIO SVOLTO: Per dimensioni 2, 3 e 6 cm, D=√(4+9+36)=7 cm. DA RICORDARE: La diagonale del solido attraversa l’interno; quella della faccia resta sul piano della faccia. ESERCIZIO 6: Trova le due diagonali di un cubo di lato 3 cm.

TESTO: Una piramide ha una base poligonale e facce laterali triangolari che convergono in un vertice esterno al piano della base. L’altezza è la distanza perpendicolare del vertice dal piano della base. Una piramide regolare ha base regolare e vertice sulla perpendicolare passante per il suo centro. ESEMPIO SVOLTO: Una piramide a base quadrata ha una base e quattro facce laterali: cinque facce totali. DA RICORDARE: Lo spigolo laterale non è generalmente l’altezza. ESERCIZIO 7: Quante facce laterali ha una piramide esagonale?

TESTO: L’apotema della piramide regolare è l’altezza di una faccia laterale. Se h è l’altezza del solido e ab l’apotema della base, l’apotema laterale al soddisfa al²=h²+ab². Lo spigolo laterale termina in un vertice della base ed è un segmento diverso. ESEMPIO SVOLTO: Base quadrata di lato 6 cm: ab=3 cm. Con h=4 cm, al=√(16+9)=5 cm. DA RICORDARE: Distingui altezza del solido, apotema della base e apotema laterale. ESERCIZIO 8: Base quadrata di lato 10 cm, h=12 cm: trova al.

TESTO: Le facce laterali di una piramide regolare hanno la stessa altezza al. Sommando le aree triangolari si ottiene Sl=Pb·al/2. La superficie totale è St=Sl+Ab, perché la base è una sola. Per una piramide non regolare si calcolano separatamente le facce. ESEMPIO SVOLTO: Base quadrata lato 6 cm e al=5 cm: Sl=24·5/2=60 cm²; St=60+36=96 cm². DA RICORDARE: Nella formula laterale usa l’apotema, non l’altezza del solido. ESERCIZIO 9: Trova St per base quadrata lato 4 cm e al=5 cm.

TESTO: Il volume è V=Ab·h/3, con h perpendicolare alla base. Una piramide ha un terzo del volume di un prisma con uguale base e altezza. La formula vale anche per piramidi non regolari. Le formule inverse si ottengono isolando la grandezza richiesta. ESEMPIO SVOLTO: Ab=36 cm² e h=4 cm danno V=36·4/3=48 cm³. DA RICORDARE: Per il volume serve l’altezza, non l’apotema laterale. ESERCIZIO 10: Trova V per Ab=25 cm² e h=9 cm.

TESTO: I volumi di parti senza sovrapposizione si sommano; quelli dei vuoti si sottraggono. Per la superficie esterna, le facce di contatto tra parti unite non si contano. Occorre distinguere volume occupato e superficie esposta, perché i due calcoli hanno regole diverse. ESEMPIO SVOLTO: Un cubo di lato 4 cm sostiene una piramide con la stessa base quadrata e h=3 cm. Volume 64+16=80 cm³. La faccia di contatto è interna. DA RICORDARE: Non sommare tutte le superfici totali senza eliminare le parti nascoste. ESERCIZIO 11: Un cubo di volume 125 cm³ ha un foro di volume 20 cm³. Trova il volume materiale.

TESTO: La rotazione completa di una regione piana attorno a una retta del suo piano genera un solido di rotazione. Un rettangolo attorno a un lato genera un cilindro; un triangolo rettangolo attorno a un cateto genera un cono; un semicerchio attorno al diametro genera una sfera. ESEMPIO SVOLTO: Rettangolo 3×5 cm ruotato attorno al lato di 5 cm: cilindro con h=5 cm e r=3 cm. DA RICORDARE: L’asse scelto determina raggio e altezza del solido. ESERCIZIO 1: Ruota lo stesso rettangolo attorno al lato di 3 cm: quali sono r e h?

TESTO: Il cilindro circolare retto ha due basi circolari congruenti e parallele e una superficie laterale curva. L’asse unisce i centri delle basi ed è perpendicolare ai loro piani. Il raggio è quello di una base; l’altezza è la distanza tra le basi. ESEMPIO SVOLTO: Un tubo chiuso modellato come cilindro può avere diametro 6 cm e altezza 10 cm: il raggio è 3 cm. DA RICORDARE: Per un cilindro cavo occorrono anche le dimensioni interne. ESERCIZIO 2: Quante basi ha un cilindro chiuso?

TESTO: Nel cilindro retto, lo sviluppo laterale è un rettangolo con lati 2πr e h. Quindi Sl=2πrh, St=2πrh+2πr² e V=πr²h. Per un contenitore aperto si omette la base assente. Il volume interno richiede il raggio e l’altezza interni. ESEMPIO SVOLTO: r=3 cm, h=5 cm: Sl=30π cm², St=48π cm², V=45π cm³. DA RICORDARE: L’altezza compare nel volume e nella superficie laterale, non nell’area di una base. ESERCIZIO 3: Calcola V e St con r=2 cm e h=4 cm.

TESTO: Il cono circolare retto ha una base circolare e un vertice sulla perpendicolare al centro della base. L’altezza va dal vertice al centro. L’apotema, o generatrice, unisce il vertice a un punto della circonferenza. Una sezione attraverso l’asse è un triangolo isoscele. ESEMPIO SVOLTO: Con r=3 cm e h=4 cm, l’apotema è maggiore dell’altezza perché è l’ipotenusa del triangolo rettangolo formato con il raggio. DA RICORDARE: Un cono ha una sola base. ESERCIZIO 4: Nel cono retto quale segmento è perpendicolare alla base?

TESTO: In un cono retto raggio r, altezza h e apotema a formano un triangolo rettangolo: a²=r²+h². Quindi a=√(r²+h²) e h=√(a²−r²). Un cono non degenere richiede a>r. Questa relazione è essenziale per passare dai dati di superficie a quelli di volume. ESEMPIO SVOLTO: r=5 cm e h=12 cm: a=√(25+144)=13 cm. DA RICORDARE: Non usare l’apotema come altezza nella formula del volume. ESERCIZIO 5: Trova h per a=10 cm e r=6 cm.

TESTO: Per un cono retto Sl=πra, St=πra+πr² e V=πr²h/3. La superficie laterale usa l’apotema, mentre il volume usa l’altezza. Lo sviluppo laterale è un settore circolare di raggio a, il cui arco misura quanto la circonferenza di base. ESEMPIO SVOLTO: r=3, h=4, a=5 cm: Sl=15π cm², St=24π cm² e V=12π cm³. DA RICORDARE: La base va aggiunta una sola volta. ESERCIZIO 6: Calcola St e V con r=5, h=12, a=13 cm.

TESTO: La sfera è il solido formato dai punti a distanza non maggiore di r dal centro; la superficie sferica è il suo bordo. Una sezione con un piano passante per il centro è un cerchio massimo di raggio r. Se il piano si allontana dal centro, le sezioni circolari diventano più piccole. ESEMPIO SVOLTO: Una sfera di diametro 12 cm ha raggio 6 cm e un cerchio massimo di area 36π cm². DA RICORDARE: Superficie sferica e cerchio massimo sono oggetti diversi. ESERCIZIO 7: Trova r se il diametro della sfera è 9 cm.

TESTO: Per raggio r, la superficie è S=4πr² e il volume V=4πr³/3. La superficie è quattro volte l’area del cerchio massimo. Una semisfera ha metà volume, ma se è chiusa possiede anche una base circolare da includere nella superficie totale. ESEMPIO SVOLTO: r=3 cm: S=36π cm² e V=36π cm³. L’uguaglianza dei coefficienti è casuale: unità e grandezze sono diverse. DA RICORDARE: Non usare la formula dell’area del cerchio per la superficie della sfera. ESERCIZIO 8: Calcola S e V per r=2 cm.

TESTO: Si scelgono le formule in base alla grandezza richiesta, si ricavano i dati mancanti e si mantengono unità coerenti. Se un solido viene fuso senza perdite per formarne un altro, il volume materiale si conserva. La superficie invece può cambiare. ESEMPIO SVOLTO: Un cono e un cilindro con la stessa base e altezza hanno volumi nel rapporto 1:3. Se Vcil=90 cm³, Vcono=30 cm³. DA RICORDARE: La conservazione del volume nella fusione presuppone assenza di perdite e uguali condizioni del materiale. ESERCIZIO 9: Quante sfere di volume 8 cm³ si ottengono da 64 cm³ di materiale senza scarti?

TESTO: Un solido composto si divide in parti semplici. Un solido cavo si calcola come volume esterno meno volume dei vuoti. Per un tubo cilindrico con raggi R e r e altezza h, Vmateriale=π(R²−r²)h. La superficie può comprendere bordo esterno, interno e corone alle estremità. ESEMPIO SVOLTO: Con R=3, r=2, h=5 cm, Vmateriale=π(9−4)·5=25π cm³. DA RICORDARE: Volume del materiale e capacità della cavità non coincidono. ESERCIZIO 10: Trova la capacità interna del tubo precedente, assumendo la cavità cilindrica.

TESTO: Un’indagine parte da una domanda chiara e da una modalità coerente di raccolta. Si definiscono soggetti, caratteri osservati e periodo. Dati mancanti, domande ambigue o misure imprecise possono alterare il risultato. Le conclusioni devono rispettare ciò che è stato effettivamente misurato. ESEMPIO SVOLTO: Per studiare il tempo di viaggio casa-scuola, si chiede a ogni alunno il tempo in minuti con la stessa definizione del tragitto. DA RICORDARE: Prima di contare, chiarisci che cosa stai osservando. ESERCIZIO 1: “Ti piace lo sport?” misura il numero di ore praticate?

TESTO: La popolazione è l’insieme delle unità su cui si vuole concludere; il campione è il sottoinsieme osservato. Un campione numeroso non è automaticamente rappresentativo. La selezione deve evitare esclusioni sistematiche. Un’indagine su tutta la popolazione è un censimento. ESEMPIO SVOLTO: Per conoscere le abitudini di una scuola, intervistare solo una squadra sportiva può sovrastimare la pratica dello sport. DA RICORDARE: La rappresentatività dipende anche dal modo di scegliere il campione. ESERCIZIO 2: In una scuola di 600 alunni se ne intervistano 60: qual è popolazione e campione?

TESTO: Un carattere qualitativo descrive categorie, come il colore preferito. Un quantitativo misura quantità. È discreto se assume valori separati, come il numero di fratelli; continuo se può assumere ogni valore di un intervallo nel modello, come l’altezza. I numeri usati come codici non diventano misure. ESEMPIO SVOLTO: Il numero di scarpe possedute è quantitativo discreto; la statura è quantitativa continua; il codice postale è una categoria codificata. DA RICORDARE: Non calcolare medie di codici privi di significato quantitativo. ESERCIZIO 3: Classifica colore degli occhi, numero di libri e massa corporea.

TESTO: La frequenza assoluta conta le osservazioni di una categoria. La relativa è f/N, la percentuale è 100f/N. Le frequenze assolute sommano a N, quelle relative a 1 e le percentuali a 100%, salvo piccoli scarti di arrotondamento. N deve essere positivo. ESEMPIO SVOLTO: Su 20 alunni, 8 scelgono basket: f=8, frequenza relativa 8/20=0,4 e percentuale 40%. DA RICORDARE: La frequenza assoluta è un conteggio, non una percentuale. ESERCIZIO 4: Su 30 risposte, 9 sono “sì”: calcola frequenze relativa e percentuale.

TESTO: Una tabella riporta categorie o valori e le rispettive frequenze. Ogni osservazione va contata una sola volta. Per dati raggruppati in intervalli si definiscono estremi inclusi ed esclusi senza sovrapposizioni. Si controllano i totali prima di costruire i grafici. ESEMPIO SVOLTO: Dati 1,2,1,3,2,1: frequenze 1→3, 2→2, 3→1; totale 6. DA RICORDARE: Le classi devono coprire i dati senza contarli due volte. ESERCIZIO 5: Costruisci le frequenze per A, B, A, C, B, A.

TESTO: Le barre confrontano categorie; gli istogrammi rappresentano dati quantitativi raggruppati in intervalli. In un istogramma è l’area a rappresentare la frequenza: con classi di uguale ampiezza bastano altezze proporzionali alle frequenze. Negli aerogrammi ogni settore ha angolo pari a 360°·f/N. ESEMPIO SVOLTO: Una categoria al 25% occupa un settore di 90°. Con classi di ampiezze diverse, l’altezza dell’istogramma deve essere proporzionale a frequenza/ampiezza. DA RICORDARE: Non confondere un istogramma con un semplice grafico a barre. ESERCIZIO 6: Quanto misura il settore di una categoria al 40%?

TESTO: La media si ottiene sommando tutti i valori e dividendo per il loro numero. È adatta a dati quantitativi e può non coincidere con un valore osservato. Valori estremi possono modificarla molto. Se i dati sono espressi in unità di misura, la media mantiene la stessa unità. ESEMPIO SVOLTO: Per 4,6,8, la media è (4+6+8)/3=6. Per 4,6,80 è 30: il valore estremo la sposta nettamente. DA RICORDARE: Non dividere per il numero dei valori diversi, ma per il numero delle osservazioni. ESERCIZIO 7: Trova la media di 5,7,8,4.

TESTO: La media ponderata considera il peso di ogni valore: somma dei prodotti valore·peso divisa per la somma dei pesi. Una tabella di frequenza usa le frequenze come pesi. Tutti i pesi qui considerati sono non negativi e la loro somma deve essere positiva. ESEMPIO SVOLTO: Due voti 6 e tre voti 8 danno media (6·2+8·3)/5=36/5=7,2. DA RICORDARE: Non fare la media semplice dei valori se hanno frequenze diverse. ESERCIZIO 8: Un voto 7 pesa 1 e un voto 9 pesa 3: calcola la media ponderata.

TESTO: La moda è il valore o la categoria più frequente e può non essere unica. La mediana si trova ordinando dati quantitativi: con numero dispari è il valore centrale; con numero pari è la media dei due centrali. La mediana è meno influenzata della media dai valori estremi. ESEMPIO SVOLTO: Dati ordinati 2,3,3,8,9: moda 3, mediana 3. Per 2,3,8,9 la mediana è (3+8)/2=5,5. DA RICORDARE: Ordina i dati prima di cercare la mediana. ESERCIZIO 9: Trova moda e mediana di 7,2,5,2,9.

TESTO: Il campo di variazione, o escursione, è massimo meno minimo. Descrive quanto si estendono i dati, ma non la distribuzione dei valori intermedi. Due gruppi possono avere stessa media ed escursione e distribuzioni diverse. Per un insieme non vuoto è sempre non negativo. ESEMPIO SVOLTO: Per 3,4,8,10 il campo è 10−3=7. DA RICORDARE: Il campo di variazione non è il massimo da solo. ESERCIZIO 10: Trova il campo di −4,−1,2,6.

TESTO: Una conclusione richiede contesto, dimensione del campione e modalità di raccolta. Si controllano assi troncati, intervalli irregolari e percentuali senza base dichiarata. Una correlazione non prova un rapporto causale. Anche la scelta tra media e mediana può cambiare l’impressione dei risultati. ESEMPIO SVOLTO: Valori 100 e 102 differiscono del 2%, ma barre con asse iniziante da 99 sembrano molto diverse. Bisogna leggere i numeri, non solo l’altezza visiva. DA RICORDARE: Chiedi sempre: percentuale di quale totale? ESERCIZIO 11: Da 10 a 15 casi: qual è l’aumento percentuale?

TESTO: Un esperimento è casuale quando non si può prevedere con certezza l’esito singolo pur conoscendo gli esiti possibili. Il modello richiede di specificare il meccanismo, per esempio moneta equilibrata o dado regolare. Ripetere l’esperimento non impone un’alternanza degli esiti. ESEMPIO SVOLTO: Una moneta equilibrata può dare testa o croce. Dopo tre teste, il lancio successivo resta imprevedibile e ha le stesse probabilità. DA RICORDARE: Il caso non deve “compensare” subito i risultati precedenti. ESERCIZIO 1: Un dado regolare è lanciato una volta: si può garantire il risultato 6?

TESTO: Lo spazio degli esiti raccoglie tutti i risultati elementari. Un evento è un insieme di esiti: si verifica se il risultato appartiene a quell’insieme. Per contare correttamente si scelgono esiti che non si sovrappongono e descrivono tutto l’esperimento. ESEMPIO SVOLTO: Con un dado, Ω={1,2,3,4,5,6}; l’evento “pari” è {2,4,6}. DA RICORDARE: Un evento può comprendere più esiti elementari. ESERCIZIO 2: Elenca l’evento “maggiore di 4” nel lancio di un dado.

TESTO: Un evento certo comprende tutti gli esiti e ha probabilità 1; un impossibile non ne contiene nessuno e ha probabilità 0. Negli esperimenti finiti con esiti tutti di probabilità positiva, gli eventi intermedi hanno probabilità tra 0 e 1. La probabilità non può uscire da questo intervallo. ESEMPIO SVOLTO: Con un dado ordinario, “numero da 1 a 6” è certo; “numero 8” è impossibile; “numero 3” è possibile. DA RICORDARE: Probabilità 1 significa 100%, non 1%. ESERCIZIO 3: Classifica “numero minore di 7” e “numero negativo” per un dado ordinario.

TESTO: Se gli esiti elementari sono equiprobabili, P(E)=numero degli esiti favorevoli/numero degli esiti possibili. L’ipotesi di equiprobabilità è indispensabile. Non si può usare un semplice conteggio di categorie se hanno probabilità diverse. ESEMPIO SVOLTO: Con un dado regolare, P(pari)=3/6=1/2. Le categorie “pari” e “multiplo di 3” non possono essere trattate come due esiti esclusivi equiprobabili. DA RICORDARE: Conta esiti elementari equiprobabili. ESERCIZIO 4: Trova P(numero maggiore di 4) con un dado regolare.

TESTO: Una stessa probabilità si può scrivere in forme equivalenti. Per passare alla percentuale si moltiplica il valore decimale per cento. Alcune frazioni generano decimali periodici: in quel caso una forma decimale troncata è approssimata, mentre la frazione resta esatta. ESEMPIO SVOLTO: 1/4=0,25=25%; 1/3≈0,3333≈33,33%. DA RICORDARE: Distingui percentuali esatte da arrotondate. ESERCIZIO 5: Converti 3/5 in decimale e percentuale.

TESTO: L’evento contrario di E comprende tutti gli esiti che non appartengono a E. I due eventi non possono verificarsi insieme e coprono tutte le possibilità. Vale P(non E)=1−P(E). Questo calcolo è spesso più semplice del conteggio diretto. ESEMPIO SVOLTO: Se P(pioggia)=0,3 nel modello considerato, P(non pioggia)=0,7. DA RICORDARE: “Non pari” su un dado ordinario significa dispari, non soltanto 1. ESERCIZIO 6: Con un dado regolare, trova P(non ottenere 6).

TESTO: Due eventi sono compatibili se possono verificarsi insieme; incompatibili se non hanno esiti in comune. Per l’unione, cioè “A oppure B”, vale P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Se sono incompatibili, il termine comune è zero. “Oppure” qui include il caso in cui si verificano entrambi. ESEMPIO SVOLTO: Su un dado, A=pari e B=maggiore di 4: comune {6}. Probabilità dell’unione 3/6+2/6−1/6=4/6. DA RICORDARE: Non contare due volte gli esiti comuni. ESERCIZIO 7: “Ottenere 1” e “ottenere 6” in un solo lancio sono compatibili? Trova la probabilità dell’unione.

TESTO: Due eventi sono indipendenti quando sapere che uno si è verificato non cambia la probabilità dell’altro. In tal caso P(A e B)=P(A)·P(B). Se sono dipendenti si usa la probabilità del secondo evento dopo il primo. Estrazioni senza reinserimento cambiano la composizione e sono generalmente dipendenti. ESEMPIO SVOLTO: Due lanci indipendenti di moneta equilibrata: P(testa e testa)=1/2·1/2=1/4. Non significa che “testa” e “croce” nello stesso lancio siano indipendenti. DA RICORDARE: Indipendente non è sinonimo di incompatibile. ESERCIZIO 8: Qual è la probabilità di due 6 in due lanci indipendenti di dado regolare?

TESTO: Una tabella elenca abbinamenti; un albero rappresenta passaggi successivi. Nei rami si scrivono probabilità coerenti con il passaggio precedente. Si moltiplica lungo un percorso e si sommano le probabilità di percorsi alternativi incompatibili. Gli esiti ordinati distinguono primo e secondo risultato. ESEMPIO SVOLTO: Due monete hanno esiti TT, TC, CT, CC. Esattamente una testa si verifica in TC o CT: 1/4+1/4=1/2. DA RICORDARE: Non confondere una coppia ordinata con una coppia senza ordine. ESERCIZIO 9: Quanti esiti ordinati hanno due dadi? Quanti danno somma 3?

TESTO: La frequenza relativa è il rapporto tra successi osservati e numero di prove. La probabilità teorica viene dal modello. Con molte prove indipendenti nelle stesse condizioni, le frequenze tendono a stabilizzarsi vicino alla probabilità; non è garantita un’uguaglianza esatta né un avvicinamento a ogni nuova prova. ESEMPIO SVOLTO: In 100 lanci si osservano 56 teste: frequenza 0,56. Il modello di moneta equilibrata assegna probabilità 0,5, senza pretendere esattamente 50 teste. DA RICORDARE: Una breve sequenza non basta da sola a provare che una moneta sia truccata. ESERCIZIO 10: Su 80 prove, 20 successi: trova la frequenza relativa.

TESTO: Prima di calcolare si specificano regolarità degli strumenti, ordine delle prove e reinserimento nelle estrazioni. Con due dadi la somma non è equiprobabile: 7 ha più coppie favorevoli di 2. Con palline si assume che ogni pallina abbia la stessa possibilità di essere estratta. ESEMPIO SVOLTO: Urna con 3 rosse e 2 blu; due estrazioni senza reinserimento. P(due rosse)=3/5·2/4=3/10. Con reinserimento sarebbe 3/5·3/5=9/25. DA RICORDARE: Il reinserimento modifica la probabilità della seconda estrazione. ESERCIZIO 11: Con due dadi regolari indipendenti, trova P(somma 7).

TESTO: Il ripasso parte da segni, priorità, frazioni, potenze e radici. Conviene costruire una breve scheda con regola ed esempio, poi risolvere esercizi che combinano più operazioni. La memorizzazione è utile solo se si sa quando applicare ogni regola. ESEMPIO SVOLTO: (−2)^3+12:(−3)=−8−4=−12. Prima potenza e divisione, poi somma. DA RICORDARE: Prima delle operazioni controlla parentesi e denominatori. ESERCIZIO 1: Calcola (−3)^2−8:2.

TESTO: Si distinguono somme di termini simili, prodotti e potenze. Nella somma si agisce sui coefficienti; nel prodotto si sommano esponenti uguali; nella potenza si moltiplicano gli esponenti. Per i polinomi si applica la distributiva e si riconoscono i prodotti notevoli. ESEMPIO SVOLTO: 2x+3x=5x, ma 2x·3x=6x². Le due operazioni producono risultati diversi. DA RICORDARE: Le regole degli esponenti non valgono per le somme. ESERCIZIO 2: Semplifica (x+1)^2−x².

TESTO: Una scheda di controllo comprende: eliminare parentesi, eliminare denominatori numerici, raccogliere termini, classificare l’equazione, isolare l’incognita e verificare. I casi 0=0 e 0=b non nullo vanno riconosciuti prima di tentare divisioni. ESEMPIO SVOLTO: 2(x+3)=3x+1 → 2x+6=3x+1 → x=5. Verifica: 16=16. DA RICORDARE: Una soluzione senza verifica è più difficile da controllare. ESERCIZIO 3: Risolvi e verifica 3x−4=11.

TESTO: Il formulario deve distinguere perimetri e aree e definire le lettere. Rettangolo: P=2(b+h), A=bh. Triangolo: A=bh/2. Trapezio: A=(B+b)h/2. Cerchio: C=2πr, A=πr². Pitagora: c²=a²+b² per triangoli rettangoli. ESEMPIO SVOLTO: Trapezio con basi 8 e 4 cm e h=5 cm: A=(8+4)·5/2=30 cm². DA RICORDARE: Scrivi accanto a ogni formula la figura e le condizioni. ESERCIZIO 4: Trova l’area di un triangolo con b=9 cm e h=4 cm.

TESTO: Prisma retto: Sl=Pb h, St=Sl+2Ab, V=Ab h. Piramide regolare: Sl=Pb al/2, St=Sl+Ab, V=Ab h/3. Cilindro retto: St=2πrh+2πr², V=πr²h. Cono retto: St=πra+πr², V=πr²h/3. Sfera: S=4πr², V=4πr³/3. ESEMPIO SVOLTO: Cilindro con r=2 cm e h=3 cm: V=12π cm³; St=20π cm². DA RICORDARE: h è altezza perpendicolare; a o al sono apotemi laterali. ESERCIZIO 5: Quale solido ha volume Ab h/3: prisma o piramide?

TESTO: Tra unità metriche consecutive il fattore è 10 per lunghezze, 100 per aree e 1000 per volumi. Si convertono i dati prima del calcolo. I risultati mantengono il tipo di unità della grandezza: cm per lunghezze, cm² per aree, cm³ per volumi. ESEMPIO SVOLTO: 1,2 m=120 cm; 1,2 m²=12000 cm²; 1,2 m³=1200000 cm³. DA RICORDARE: L’esponente dell’unità cambia il fattore di conversione. ESERCIZIO 6: Converti 250 cm² in dm² e 250 cm³ in dm³.

TESTO: Una lettura ordinata identifica titolo, popolazione, assi, unità e scale, poi cerca valori e confronti. Si distinguono dati osservati da previsioni. Per percentuali e probabilità si chiarisce il totale di riferimento. Una media non descrive da sola tutte le differenze tra individui. ESEMPIO SVOLTO: Tabella con 12 risposte A e 8 B: totale 20; A rappresenta il 60%. Non basta dire “12%” solo perché il conteggio è 12. DA RICORDARE: Controlla il totale prima di calcolare una percentuale. ESERCIZIO 7: In una tabella le frequenze sono 5, 10 e 5: trova la percentuale della seconda categoria.

TESTO: Si legge il testo, si organizzano i dati, si sceglie un modello, si calcola e si controlla. Un disegno, una proporzione o un’equazione sono strumenti alternativi da scegliere secondo il problema. Stimare il risultato prima del calcolo aiuta a individuare errori di scala o unità. ESEMPIO SVOLTO: Se una scatola contiene circa 2 L, un risultato di 2000 m³ è incompatibile con le dimensioni: occorre rivedere le conversioni. DA RICORDARE: Una formula corretta con dati sbagliati produce comunque una risposta sbagliata. ESERCIZIO 8: Una stanza di 4 m per 5 m deve essere pavimentata: serve perimetro o area?

TESTO: Un problema può unire coordinate, Pitagora, aree, percentuali e volumi. Si divide in richieste e si conserva il significato dei risultati intermedi. Le approssimazioni si rimandano alla fine, quando possibile. La risposta deve indicare unità e eventuali assunzioni. ESEMPIO SVOLTO: A=(0;0), B=(6;0), C=(6;8): triangolo rettangolo, ipotenusa 10, area 24. Un prisma con questa base e h=5 ha volume 120 unità cubiche. DA RICORDARE: Non arrotondare troppo presto risultati che userai ancora. ESERCIZIO 9: Un rettangolo 3×4 cm è base di un prisma alto 10 cm: trova diagonale della base e volume.

TESTO: Nei quesiti di ragionamento si valutano relazioni, stime e controesempi, non soltanto calcoli. Si leggono con cura parole come “sempre”, “almeno” ed “esattamente”. Un’affermazione universale falsa può essere smentita da un solo controesempio. Gli esercizi qui proposti sono originali, non quesiti ufficiali. ESEMPIO SVOLTO: “Raddoppiando il lato di un quadrato raddoppia l’area” è falso: lato 2→4, area 4→16, cioè quattro volte. DA RICORDARE: Un esempio favorevole non dimostra una regola valida sempre. ESERCIZIO 10: È sempre vero che il quadrato di un numero è maggiore del numero stesso?

TESTO: Una simulazione combina algebra, geometria, dati e probabilità. Il formato concreto dell’esame dipende dalle scelte della scuola: gli esercizi qui servono per allenarsi e non riproducono una prova ufficiale. Conviene mostrare passaggi, motivazioni e unità. In fondo al capitolo sono presenti due simulazioni originali con soluzioni. ESEMPIO SVOLTO: Allenamento breve: risolvi 2x+1=9, calcola l’area di un cerchio r=2 cm e P(pari) su un dado regolare. Risposte: x=4, 4π cm², 1/2. DA RICORDARE: Una risposta motivata rende valutabile il procedimento. ESERCIZIO 11: Risolvi x/2+3=7 e trova V di un cubo di spigolo 2 cm.

TESTO: Si controllano segni, parentesi, denominatori, unità e plausibilità. Un’equazione si verifica per sostituzione; un volume si confronta con una stima; una probabilità deve stare tra 0 e 1. Individuare il punto dell’errore è più utile che ricopiare soltanto la soluzione. ESEMPIO SVOLTO: Una probabilità di 1,4 è impossibile: il conteggio o il denominatore è sbagliato. Un’area espressa in cm indica un errore di unità. DA RICORDARE: Il controllo finale deve riguardare sia il calcolo sia il significato. ESERCIZIO 12: Correggi le unità: “area 25 cm”, “volume 30 cm²”.